Theorem indistgp 21814

Description: Any group equipped with the indiscrete topology is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
distgp.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
distgp.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
indistgp	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem indistgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ Grp)
2		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 = {∅, 𝐵})
3		distgp.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		fvex 6158	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
5	3, 4	eqeltri 2694	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
6		indistopon 20715	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {∅, 𝐵} ∈ (TopOn‘𝐵)
8	2, 7	syl6eqel 2706	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
9		distgp.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10	3, 9	istps 20651	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
11	8, 10	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopSp)
12		eqid 2621	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	3, 12	grpsubf 17415	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
15	5, 5	xpex 6915	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) ∈ V
16	5, 15	elmap 7830	. . . 4 ⊢ ((-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)) ↔ (-g‘𝐺):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
17	14, 16	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
18	2	oveq2d 6620	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}))
19		txtopon 21304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
20	8, 8, 19	syl2anc 692	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)))
21		cnindis 21006	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
22	20, 5, 21	sylancl 693	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn {∅, 𝐵}) = (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
23	18, 22	eqtrd 2655	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) = (𝐵 ↑𝑚 (𝐵 × 𝐵)))
24	17, 23	eleqtrrd 2701	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
25	9, 12	istgp2 21805	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopSp ∧ (-g‘𝐺) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)))
26	1, 11, 24, 25	syl3anbrc 1244	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐽 = {∅, 𝐵}) → 𝐺 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3891  {cpr 4150   × cxp 5072  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑_𝑚 cmap 7802  Basecbs 15781  TopOpenctopn 16003  Grpcgrp 17343  -_gcsg 17345  TopOnctopon 20618  TopSpctps 20619   Cn ccn 20938   ×_t ctx 21273  TopGrpctgp 21785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-plusf 17162  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-tx 21275  df-tmd 21786  df-tgp 21787

This theorem is referenced by: (None)