Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpi1 29857
Description: Preimage of the singleton {1} by the indicator function. See i1f1lem 23357. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpi1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)

Proof of Theorem indpi1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ind1a 29856 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴))
213expia 1264 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝑂 → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥𝐴)))
32pm5.32d 670 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1) ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
4 indf 29851 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1})
5 ffn 6004 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂)
6 fniniseg 6295 . . . 4 (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑥) = 1)))
8 ssel 3582 . . . . 5 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴𝑥𝑂))
98pm4.71rd 666 . . . 4 (𝐴𝑂 → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
109adantl 482 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝑂𝑥𝐴)))
113, 7, 103bitr4d 300 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝑥 ∈ (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) ↔ 𝑥𝐴))
1211eqrdv 2624 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴) “ {1}) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wss 3560  {csn 4153  {cpr 4155  ccnv 5078  cima 5082   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  0cc0 9881  1c1 9882  𝟭cind 29846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-ind 29847
This theorem is referenced by:  indf1ofs  29861  eulerpartlemgf  30214
  Copyright terms: Public domain W3C validator