Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indpreima 29892
Description: A function with range {0, 1} as an indicator of the preimage of {1}. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indpreima ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))

Proof of Theorem indpreima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 6007 . . 3 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → 𝐹 Fn 𝑂)
21adantl 482 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 Fn 𝑂)
3 cnvimass 5449 . . . . 5 (𝐹 “ {1}) ⊆ dom 𝐹
4 fdm 6013 . . . . . 6 (𝐹:𝑂⟶{0, 1} → dom 𝐹 = 𝑂)
54adantl 482 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → dom 𝐹 = 𝑂)
63, 5syl5sseq 3637 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
7 indf 29883 . . . 4 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
86, 7syldan 487 . . 3 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1})
9 ffn 6007 . . 3 (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})):𝑂⟶{0, 1} → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
108, 9syl 17 . 2 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})) Fn 𝑂)
11 simpr 477 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹:𝑂⟶{0, 1})
1211ffvelrnda 6320 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {0, 1})
13 prcom 4242 . . . 4 {0, 1} = {1, 0}
1412, 13syl6eleq 2708 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) ∈ {1, 0})
158ffvelrnda 6320 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {0, 1})
1615, 13syl6eleq 2708 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) ∈ {1, 0})
17 simpll 789 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑂𝑉)
186adantr 481 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂)
19 simpr 477 . . . . 5 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → 𝑥𝑂)
20 ind1a 29888 . . . . 5 ((𝑂𝑉 ∧ (𝐹 “ {1}) ⊆ 𝑂𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1 ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {1})))
22 fniniseg 6299 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑂 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
232, 22syl 17 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝑥𝑂 ∧ (𝐹𝑥) = 1)))
2423baibd 947 . . . 4 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {1}) ↔ (𝐹𝑥) = 1))
2521, 24bitr2d 269 . . 3 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → ((𝐹𝑥) = 1 ↔ (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥) = 1))
2614, 16, 25elpreq 29230 . 2 (((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) ∧ 𝑥𝑂) → (𝐹𝑥) = (((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1}))‘𝑥))
272, 10, 26eqfnfvd 6275 1 ((𝑂𝑉𝐹:𝑂⟶{0, 1}) → 𝐹 = ((𝟭‘𝑂)‘(𝐹 “ {1})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559  {csn 4153  {cpr 4155  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  0cc0 9888  1c1 9889  𝟭cind 29878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-ind 29879
This theorem is referenced by:  indf1ofs  29893
  Copyright terms: Public domain W3C validator