Theorem indstr 6462

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema).

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
indstr.2	⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (y < x → ψ) → φ))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (x ∈ ℕ → φ)

Distinct variable groups:   x,y   φ,y   ψ,x

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 660	. . . . . 6 ⊢ ¬ (φ ⋀ ¬ φ)
2		lenltt 5522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (x ≤ y ↔ ¬ y < x))
3		nnret 5931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℕ → x ∈ ℝ)
4		nnret 5931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2an 456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℕ ⋀ y ∈ ℕ) → (x ≤ y ↔ ¬ y < x))
6	5	imbi2d 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℕ ⋀ y ∈ ℕ) → ((¬ ψ → x ≤ y) ↔ (¬ ψ → ¬ y < x)))
7		pm4.1 164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y < x → ψ) ↔ (¬ ψ → ¬ y < x))
8	6, 7	syl6bbr 540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℕ ⋀ y ∈ ℕ) → ((¬ ψ → x ≤ y) ↔ (y < x → ψ)))
9	8	ralbidva 1662	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y) ↔ ∀y ∈ ℕ (y < x → ψ)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (y < x → ψ) → φ))
11	9, 10	sylbid 203	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y) → φ))
12	11	anim2d 563	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ → ((¬ φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)) → (¬ φ ⋀ φ)))
13		ancom 437	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ φ ⋀ φ) ↔ (φ ⋀ ¬ φ))
14	12, 13	syl6ib 212	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → ((¬ φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)) → (φ ⋀ ¬ φ)))
15	1, 14	mtoi 107	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℕ → ¬ (¬ φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)))
16	15	nrex 1732	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ (¬ φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y))
17		indstr.1	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
18	17	negbid 613	. . . . 5 ⊢ (x = y → (¬ φ ↔ ¬ ψ))
19	18	nnwos 6461	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℕ ¬ φ → ∃x ∈ ℕ (¬ φ ⋀ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)))
20	16, 19	mto 106	. . 3 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ¬ φ
21		dfral2 1658	. . 3 ⊢ (∀x ∈ ℕ φ ↔ ¬ ∃x ∈ ℕ ¬ φ)
22	20, 21	mpbir 190	. 2 ⊢ ∀x ∈ ℕ φ
23	22	rspec 1700	1 ⊢ (x ∈ ℕ → φ)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960  ∀wral 1648  ∃wrex 1649   class class class wbr 2624  ℝcr 5245   ≤ cle 5307  ℕcn 5308   < clt 5498

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem3 6727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-uz 6419

Copyright terms: Public domain