MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr 11583
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr.2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem indstr
StepHypRef Expression
1 pm3.24 921 . . . . . 6 ¬ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)
2 nnre 10869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 nnre 10869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4 lenlt 9962 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
52, 3, 4syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥))
65imbi2d 328 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥)))
7 con34b 304 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 < 𝑥𝜓) ↔ (¬ 𝜓 → ¬ 𝑦 < 𝑥))
86, 7syl6bbr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
98ralbidva 2962 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓)))
10 indstr.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
119, 10sylbid 228 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦) → 𝜑))
1211anim2d 586 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (¬ 𝜑𝜑)))
13 ancom 464 . . . . . . 7 ((¬ 𝜑𝜑) ↔ (𝜑 ∧ ¬ 𝜑))
1412, 13syl6ib 239 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → ((¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)) → (𝜑 ∧ ¬ 𝜑)))
151, 14mtoi 188 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → ¬ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
1615nrex 2977 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦))
17 indstr.1 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
1817notbid 306 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝜑 ↔ ¬ 𝜓))
1918nnwos 11582 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (¬ 𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (¬ 𝜓𝑥𝑦)))
2016, 19mto 186 . . 3 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑
21 dfral2 2971 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℕ 𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ ¬ 𝜑)
2220, 21mpbir 219 . 2 𝑥 ∈ ℕ 𝜑
2322rspec 2909 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1975  wral 2890  wrex 2891   class class class wbr 4572  cr 9786   < clt 9925  cle 9926  cn 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515
This theorem is referenced by:  indstr2  11594
  Copyright terms: Public domain W3C validator