MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indstr2 11719
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
indstr2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr2.3 𝜒
indstr2.4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr2 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2 elnn1uz2 11717 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
3 indstr2.3 . . . . 5 𝜒
4 nnnlt1 11002 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6 breq2 4622 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
85, 7mtbird 315 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
98pm2.21d 118 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝜓))
109ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓))
11 pm5.5 351 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13 indstr2.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
1412, 13bitrd 268 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
153, 14mpbiri 248 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
16 indstr2.4 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
1715, 16jaoi 394 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
182, 17sylbi 207 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
191, 18indstr 11708 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907   class class class wbr 4618  cfv 5852  1c1 9889   < clt 10026  cn 10972  2c2 11022  cuz 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640
This theorem is referenced by:  nn0prpwlem  31994
  Copyright terms: Public domain W3C validator