Theorem ine0 10317

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 9862	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2783	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 6535	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 9852	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 10078	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	syl6req 2660	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 6542	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 9851	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addid2i 10076	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 9861	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2666	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 186	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2784	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1474   ≠ wne 2779  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794  ici 9795   + caddc 9796   · cmul 9798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936

This theorem is referenced by:  inelr  10860  2muline0  11106  irec  12784  iexpcyc  12789  imre  13645  reim  13646  crim  13652  cjreb  13660  cnpart  13777  tanval2  14651  tanval3  14652  efival  14670  sinhval  14672  retanhcl  14677  tanhlt1  14678  tanhbnd  14679  itgz  23298  ibl0  23304  iblcnlem1  23305  itgcnlem  23307  iblss  23322  iblss2  23323  itgss  23329  itgeqa  23331  iblconst  23335  iblabsr  23347  iblmulc2  23348  itgsplit  23353  dvsincos  23493  efeq1  24024  tanregt0  24034  efif1olem4  24040  eflogeq  24097  cxpsqrtlem  24193  root1eq1  24241  ang180lem1  24284  ang180lem2  24285  ang180lem3  24286  atandm2  24349  2efiatan  24390  atantan  24395  dvatan  24407  atantayl2  24410  log2cnv  24416  logi  30707  iexpire  30708  iblmulc2nc  32469  ftc1anclem6  32484  proot1ex  36622  iblsplit  38682  sinh-conventional  42262