Theorem ine0 10503

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10043	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2825	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 6698	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 10033	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 10264	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	syl6req 2702	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 6705	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 10032	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addid2i 10262	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 10042	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2708	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 188	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2826	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1523   ≠ wne 2823  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117

This theorem is referenced by:  inelr  11048  2muline0  11294  irec  13004  iexpcyc  13009  imre  13892  reim  13893  crim  13899  cjreb  13907  cnpart  14024  tanval2  14907  tanval3  14908  efival  14926  sinhval  14928  retanhcl  14933  tanhlt1  14934  tanhbnd  14935  itgz  23592  ibl0  23598  iblcnlem1  23599  itgcnlem  23601  iblss  23616  iblss2  23617  itgss  23623  itgeqa  23625  iblconst  23629  iblabsr  23641  iblmulc2  23642  itgsplit  23647  dvsincos  23789  efeq1  24320  tanregt0  24330  efif1olem4  24336  eflogeq  24393  cxpsqrtlem  24493  root1eq1  24541  ang180lem1  24584  ang180lem2  24585  ang180lem3  24586  atandm2  24649  2efiatan  24690  atantan  24695  dvatan  24707  atantayl2  24710  log2cnv  24716  itgexpif  30812  logi  31746  iexpire  31747  iblmulc2nc  33605  ftc1anclem6  33620  proot1ex  38096  iblsplit  40500  sinh-conventional  42808