MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ine0 11063
Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0 i ≠ 0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 10594 . . . 4 1 ≠ 0
21neii 3015 . . 3 ¬ 1 = 0
3 oveq2 7153 . . . . . 6 (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4 ax-icn 10584 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
54mul01i 10818 . . . . . 6 (i · 0) = 0
63, 5syl6req 2870 . . . . 5 (i = 0 → 0 = (i · i))
76oveq1d 7160 . . . 4 (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8 ax-1cn 10583 . . . . 5 1 ∈ ℂ
98addid2i 10816 . . . 4 (0 + 1) = 1
10 ax-i2m1 10593 . . . 4 ((i · i) + 1) = 0
117, 9, 103eqtr3g 2876 . . 3 (i = 0 → 1 = 0)
122, 11mto 198 . 2 ¬ i = 0
1312neir 3016 1 i ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wne 3013  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668
This theorem is referenced by:  inelr  11616  2muline0  11849  irec  13552  iexpcyc  13557  imre  14455  reim  14456  crim  14462  cjreb  14470  cnpart  14587  tanval2  15474  tanval3  15475  efival  15493  sinhval  15495  retanhcl  15500  tanhlt1  15501  tanhbnd  15502  itgz  24308  ibl0  24314  iblcnlem1  24315  itgcnlem  24317  iblss  24332  iblss2  24333  itgss  24339  itgeqa  24341  iblconst  24345  iblabsr  24357  iblmulc2  24358  itgsplit  24363  dvsincos  24505  efeq1  25040  tanregt0  25050  efif1olem4  25056  eflogeq  25112  cxpsqrtlem  25212  root1eq1  25263  ang180lem1  25314  ang180lem2  25315  ang180lem3  25316  atandm2  25382  2efiatan  25423  atantan  25428  dvatan  25440  atantayl2  25443  log2cnv  25449  ccfldextdgrr  30956  itgexpif  31776  logi  32863  iexpire  32864  iblmulc2nc  34838  ftc1anclem6  34853  proot1ex  39679  iblsplit  42127  sinh-conventional  44766
  Copyright terms: Public domain W3C validator