Theorem inelr 11048

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 10503	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2825	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 10588	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
4		0re 10078	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10077	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 10194	. . . . 5 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 10694	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 10380	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2726	. . . . . 6 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 10620	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 10032	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addid2i 10262	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 10042	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 4694	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 264	. . . 4 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 312	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		msqgt0 10586	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
19	18	ex 449	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
20	19	necon1bd 2841	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
21	17, 20	mpi 20	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
22	2, 21	mto 188	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  -cneg 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307

This theorem is referenced by:  rimul  11049  nthruc  15025  areacirclem4  33633