MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelr 11616
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 11063 . . 3 i ≠ 0
21neii 3015 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 11150 . . . . 5 0 < 1
4 0re 10631 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 1re 10629 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 10747 . . . . 5 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . 4 ¬ 1 < 0
8 ixi 11257 . . . . . . 7 (i · i) = -1
95renegcli 10935 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2906 . . . . . 6 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 11182 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
1312addid2i 10816 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 10593 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 5066 . . . . 5 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 276 . . . 4 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 324 . . 3 ¬ 0 < (i · i)
18 msqgt0 11148 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i ≠ 0) → 0 < (i · i))
1918ex 413 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i ≠ 0 → 0 < (i · i)))
2019necon1bd 3031 . . 3 (i ∈ ℝ → (¬ 0 < (i · i) → i = 0))
2117, 20mpi 20 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
222, 21mto 198 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  rimul  11617  nthruc  15593  areacirclem4  34866  sqrtnegnre  43384  requad01  43663
  Copyright terms: Public domain W3C validator