MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem3 8487
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8492 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 8460. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . 4 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . . 4 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . . 4 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lemd 8484 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
61, 2, 3, 4inf3lem2 8486 . . . 4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
76com12 32 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑥))
8 pssdifn0 3924 . . 3 (((𝐹𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅)
95, 7, 8syl6an 567 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅))
10 vex 3193 . . . . 5 𝑥 ∈ V
1110difexi 4779 . . . 4 (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V
12 zfreg 8460 . . . 4 (((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∈ V ∧ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1311, 12mpan 705 . . 3 ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → ∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
14 eldifi 3716 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → 𝑣𝑥)
15 inssdif0 3927 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴) ↔ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅)
1615biimpri 218 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴))
1714, 16anim12i 589 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
18 vex 3193 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ V
19 fvex 6168 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐴) ∈ V
201, 2, 18, 19inf3lema 8481 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)) ↔ (𝑣𝑥 ∧ (𝑣𝑥) ⊆ (𝐹𝐴)))
2117, 20sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴)))
221, 2, 3, 4inf3lemc 8483 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝐴) = (𝐺‘(𝐹𝐴)))
2322eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐺‘(𝐹𝐴))))
2421, 23syl5ibr 236 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
25 eldifn 3717 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
2824, 27jcad 555 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴))))
29 eleq2 2687 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹𝐴) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴)))
3029biimprd 238 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
31 iman 440 . . . . . . . 8 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) ↔ ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3230, 31sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝐴) → ¬ (𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)))
3332necon2ai 2819 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))
3428, 33syl6 35 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → ((𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ∧ (𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅) → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3534expd 452 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) → ((𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
3635rexlimdv 3025 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (∃𝑣 ∈ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))(𝑣 ∩ (𝑥 ∖ (𝐹𝐴))) = ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
3713, 36syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∖ (𝐹𝐴)) ≠ ∅ → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
389, 37syldc 48 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  c0 3897   cuni 4409  cmpt 4683  cres 5086  suc csuc 5694  cfv 5857  ωcom 7027  reccrdg 7465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-reg 8457
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466
This theorem is referenced by:  inf3lem4  8488
  Copyright terms: Public domain W3C validator