Theorem inf3lem4 4625

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 4629 for detailed description.

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ G = {⟨y, z⟩∣z = {w ∈ x∣(w ∩ x) ⊆ y}}
inf3lem.2	⊢ F = (rec(G, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ A ∈ V
inf3lem.4	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem4	⊢ ((x ≠ ∅ ⋀ x ⊆ ∪x) → (A ∈ ω → (F ‘A) ⊂ (F ‘suc A)))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem inf3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . 5 ⊢ G = {⟨y, z⟩∣z = {w ∈ x∣(w ∩ x) ⊆ y}}
2		inf3lem.2	. . . . 5 ⊢ F = (rec(G, ∅) ↾ ω)
3		inf3lem.3	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
4		inf3lem.4	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem1 4622	. . . 4 ⊢ (A ∈ ω → (F ‘A) ⊆ (F ‘suc A))
6	5	a1i 8	. . 3 ⊢ ((x ≠ ∅ ⋀ x ⊆ ∪x) → (A ∈ ω → (F ‘A) ⊆ (F ‘suc A)))
7	1, 2, 3, 4	inf3lem3 4624	. . 3 ⊢ ((x ≠ ∅ ⋀ x ⊆ ∪x) → (A ∈ ω → (F ‘A) ≠ (F ‘suc A)))
8	6, 7	jcad 602	. 2 ⊢ ((x ≠ ∅ ⋀ x ⊆ ∪x) → (A ∈ ω → ((F ‘A) ⊆ (F ‘suc A) ⋀ (F ‘A) ≠ (F ‘suc A))))
9		df-pss 2058	. 2 ⊢ ((F ‘A) ⊂ (F ‘suc A) ↔ ((F ‘A) ⊆ (F ‘suc A) ⋀ (F ‘A) ≠ (F ‘suc A)))
10	8, 9	syl6ibr 213	1 ⊢ ((x ≠ ∅ ⋀ x ⊆ ∪x) → (A ∈ ω → (F ‘A) ⊂ (F ‘suc A)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588  {crab 1651  Vcvv 1814   ∩ cin 2049   ⊆ wss 2050   ⊂ wpss 2051  ∅c0 2283  ∪cuni 2507  {copab 2671  suc csuc 2956  ωcom 3137   ↾ cres 3178   ‘cfv 3188  reccrdg 3937

This theorem is referenced by:  inf3lem5 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938

Copyright terms: Public domain