MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcdaabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcdaabs 9025
Description: Absorption law for addition to an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infcdaabs ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infcdaabs
StepHypRef Expression
1 cdadom2 9006 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
213ad2ant3 1083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
3 simp1 1060 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
4 xp2cda 8999 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) = (𝐴 +𝑐 𝐴))
62, 5breqtrrd 4679 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
7 2onn 7717 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
8 nnsdom 8548 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ≺ ω)
9 sdomdom 7980 . . . . . . 7 (2𝑜 ≺ ω → 2𝑜 ≼ ω)
107, 8, 9mp2b 10 . . . . . 6 2𝑜 ≼ ω
11 simp2 1061 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → ω ≼ 𝐴)
12 domtr 8006 . . . . . 6 ((2𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 2𝑜𝐴)
1310, 11, 12sylancr 695 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 2𝑜𝐴)
14 xpdom2g 8053 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 2𝑜𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
153, 13, 14syl2anc 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
16 domtr 8006 . . . 4 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
176, 15, 16syl2anc 693 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴))
18 infxpidm2 8837 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
19183adant3 1080 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴)
20 domentr 8012 . . 3 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
2117, 19, 20syl2anc 693 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴)
22 reldom 7958 . . . . 5 Rel ≼
2322brrelexi 5156 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵 ∈ V)
24233ad2ant3 1083 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
25 cdadom3 9007 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
263, 24, 25syl2anc 693 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
27 sbth 8077 . 2 (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
2821, 26, 27syl2anc 693 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198   class class class wbr 4651   × cxp 5110  dom cdm 5112  (class class class)co 6647  ωcom 7062  2𝑜c2o 7551  cen 7949  cdom 7950  csdm 7951  cardccrd 8758   +𝑐 ccda 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987
This theorem is referenced by:  infunabs  9026  infcda  9027  infdif  9028
  Copyright terms: Public domain W3C validator