Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux1i 14514
 Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 14513. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
Assertion
Ref Expression
infcvgaux1i (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i
StepHypRef Expression
1 infcvg.1 . . 3 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2 infcvg.2 . . . . . . 7 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
32renegcld 10401 . . . . . 6 (𝑦𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
53, 4syl5ibrcom 237 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ))
65rexlimiv 3020 . . . 4 (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ)
76abssi 3656 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
81, 7eqsstri 3614 . 2 𝑅 ⊆ ℝ
9 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
10 eqid 2621 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
1110nfth 1724 . . . . . . 7 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
12 csbeq1a 3523 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑍𝐴 = 𝑍 / 𝑦𝐴)
1312negeqd 10219 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴)
1413eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑍 → (-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴))
1511, 14rspce 3290 . . . . . 6 ((𝑍𝑋 ∧ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴) → ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
169, 10, 15mp2an 707 . . . . 5 𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴
17 negex 10223 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ V
18 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . 9 𝑦𝑍 / 𝑦𝐴
1918nfneg 10221 . . . . . . . 8 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴
2019nfeq2 2776 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴
21 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2220, 21rexbid 3044 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2317, 22elab 3333 . . . . 5 (-𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
2416, 23mpbir 221 . . . 4 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2524, 1eleqtrri 2697 . . 3 -𝑍 / 𝑦𝐴𝑅
2625ne0ii 3899 . 2 𝑅 ≠ ∅
27 infcvg.4 . 2 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
288, 26, 273pm3.2i 1237 1 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {cab 2607   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  ⦋csb 3514   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  ℝcr 9879   ≤ cle 10019  -cneg 10211 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213 This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  14515
 Copyright terms: Public domain W3C validator