MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcvgaux1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcvgaux1i 15200
Description: Auxiliary theorem for applications of supcvg 15199. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
infcvg.1 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
infcvg.2 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
infcvg.3 𝑍𝑋
infcvg.4 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
Assertion
Ref Expression
infcvgaux1i (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦   𝑧,𝑤,𝑅   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑧,𝑤)   𝑍(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem infcvgaux1i
StepHypRef Expression
1 infcvg.1 . . 3 𝑅 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2 infcvg.2 . . . . . . 7 (𝑦𝑋𝐴 ∈ ℝ)
32renegcld 11055 . . . . . 6 (𝑦𝑋 → -𝐴 ∈ ℝ)
4 eleq1 2897 . . . . . 6 (𝑥 = -𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ -𝐴 ∈ ℝ))
53, 4syl5ibrcom 248 . . . . 5 (𝑦𝑋 → (𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ))
65rexlimiv 3277 . . . 4 (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴𝑥 ∈ ℝ)
76abssi 4043 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ⊆ ℝ
81, 7eqsstri 3998 . 2 𝑅 ⊆ ℝ
9 infcvg.3 . . . . . 6 𝑍𝑋
10 eqid 2818 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
1110nfth 1793 . . . . . . 7 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴
12 csbeq1a 3894 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑍𝐴 = 𝑍 / 𝑦𝐴)
1312negeqd 10868 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑍 → -𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴)
1413eqeq2d 2829 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑍 → (-𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴))
1511, 14rspce 3609 . . . . . 6 ((𝑍𝑋 ∧ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝑍 / 𝑦𝐴) → ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
169, 10, 15mp2an 688 . . . . 5 𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴
17 negex 10872 . . . . . 6 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ V
18 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . 9 𝑦𝑍 / 𝑦𝐴
1918nfneg 10870 . . . . . . . 8 𝑦-𝑍 / 𝑦𝐴
2019nfeq2 2992 . . . . . . 7 𝑦 𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴
21 eqeq1 2822 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (𝑥 = -𝐴 ↔ -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2220, 21rexbid 3317 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑍 / 𝑦𝐴 → (∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴 ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴))
2317, 22elab 3664 . . . . 5 (-𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴} ↔ ∃𝑦𝑋 -𝑍 / 𝑦𝐴 = -𝐴)
2416, 23mpbir 232 . . . 4 -𝑍 / 𝑦𝐴 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑋 𝑥 = -𝐴}
2524, 1eleqtrri 2909 . . 3 -𝑍 / 𝑦𝐴𝑅
2625ne0ii 4300 . 2 𝑅 ≠ ∅
27 infcvg.4 . 2 𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧
288, 26, 273pm3.2i 1331 1 (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑤𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  csb 3880  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cr 10524  cle 10664  -cneg 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  infcvgaux2i  15201
  Copyright terms: Public domain W3C validator