MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infdif2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infdif2 8889
Description: Cardinality ordering for an infinite class difference. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infdif2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ≼ 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem infdif2
StepHypRef Expression
1 domnsym 7945 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ (𝐴𝐵))
2 simp3 1055 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
3 infdif 8888 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴𝐵) ≈ 𝐴)
43ensymd 7867 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐴 ≈ (𝐴𝐵))
5 sdomentr 7953 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴𝐴 ≈ (𝐴𝐵)) → 𝐵 ≺ (𝐴𝐵))
62, 4, 5syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → 𝐵 ≺ (𝐴𝐵))
71, 6nsyl3 131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → ¬ (𝐴𝐵) ≼ 𝐵)
873expia 1258 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐵) ≼ 𝐵))
983adant2 1072 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐵𝐴 → ¬ (𝐴𝐵) ≼ 𝐵))
109con2d 127 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
11 domtri2 8672 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
12113adant3 1073 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
1310, 12sylibrd 247 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ≼ 𝐵𝐴𝐵))
14 simp1 1053 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
15 difss 3695 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
16 ssdomg 7861 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴))
1714, 15, 16mpisyl 21 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
18 domtr 7869 . . . 4 (((𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴𝐵) → (𝐴𝐵) ≼ 𝐵)
1918ex 448 . . 3 ((𝐴𝐵) ≼ 𝐴 → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵) ≼ 𝐵))
2017, 19syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵) ≼ 𝐵))
2113, 20impbid 200 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ≼ 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  w3a 1030  wcel 1976  cdif 3533  wss 3536   class class class wbr 4574  dom cdm 5025  ωcom 6931  cen 7812  cdom 7813  csdm 7814  cardccrd 8618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847
This theorem is referenced by:  axgroth3  9506
  Copyright terms: Public domain W3C validator