MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inffien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inffien 8830
Description: The set of finite intersections of an infinite well-orderable set is equinumerous to the set itself. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
inffien ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem inffien
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 infpwfien 8829 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴)
2 relen 7904 . . . . . . . . 9 Rel ≈
32brrelexi 5118 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
41, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5 difss 3715 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
6 ssdomg 7945 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V → (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ⊆ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
74, 5, 6mpisyl 21 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
8 domentr 7959 . . . . . 6 ((((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ≈ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
97, 1, 8syl2anc 692 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴)
10 numdom 8805 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
119, 10syldan 487 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card)
12 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥)
1312fifo 8282 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
1413adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
15 fodomnum 8824 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∈ dom card → ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑥):((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})))
1611, 14, 15sylc 65 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
17 domtr 7953 . . 3 (((fi‘𝐴) ≼ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
1816, 9, 17syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≼ 𝐴)
19 fvex 6158 . . 3 (fi‘𝐴) ∈ V
20 ssfii 8269 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
2120adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
22 ssdomg 7945 . . 3 ((fi‘𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴)))
2319, 21, 22mpsyl 68 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ (fi‘𝐴))
24 sbth 8024 . 2 (((fi‘𝐴) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (fi‘𝐴)) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)
2518, 23, 24syl2anc 692 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) → (fi‘𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cint 4440   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ontowfo 5845  cfv 5847  ωcom 7012  cen 7896  cdom 7897  Fincfn 7899  ficfi 8260  cardccrd 8705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-seqom 7488  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator