MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infi 8730
Description: The intersection of two sets is finite if one of them is. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
infi (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem infi
StepHypRef Expression
1 inss1 4202 . 2 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
2 ssfi 8726 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
31, 2mpan2 687 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-om 7570  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  rabfi  8731  resfnfinfin  8792  resfifsupp  8849  fin23lem22  9737  pmatcoe1fsupp  21237  trlsegvdeglem6  27931  gsummptres  30617  indsumin  31180  eulerpartlemt  31528  ballotlemgun  31681  hgt750lemd  31818  fourierdlem50  42318  fourierdlem71  42339  fourierdlem76  42344  fourierdlem80  42348  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  sge0split  42568
  Copyright terms: Public domain W3C validator