Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inficc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inficc 40079
 Description: The infimum of a nonempty set, included in a closed interval, is a member of the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
inficc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
inficc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
inficc.s (𝜑𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
inficc.n0 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
inficc (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem inficc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inficc.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 inficc.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 inficc.s . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 iccssxr 12294 . . . . 5 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*)
63, 5sstrd 3646 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ*)
7 infxrcl 12201 . . 3 (𝑆 ⊆ ℝ* → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
91adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ*)
102adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ*)
113sselda 3636 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12 iccgelb 12268 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
139, 10, 11, 12syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴𝑥)
1413ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥)
15 infxrgelb 12203 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥))
166, 1, 15syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝑆 𝐴𝑥))
1714, 16mpbird 247 . 2 (𝜑𝐴 ≤ inf(𝑆, ℝ*, < ))
18 inficc.n0 . . . 4 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
19 n0 3964 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
2018, 19sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝑆)
218adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
224, 11sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ*)
236adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑆 ⊆ ℝ*)
24 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
25 infxrlb 12202 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℝ*𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
2623, 24, 25syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
27 iccleub 12267 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
289, 10, 11, 27syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2921, 22, 10, 26, 28xrletrd 12031 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
3029ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
3130exlimdv 1901 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥𝑆 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵))
3220, 31mpd 15 . 2 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ≤ 𝐵)
331, 2, 8, 17, 32eliccxrd 40071 1 (𝜑 → inf(𝑆, ℝ*, < ) ∈ (𝐴[,]𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  infcinf 8388  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  [,]cicc 12216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-icc 12220 This theorem is referenced by:  ovnf  41098
 Copyright terms: Public domain W3C validator