Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infleinf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infleinf2 39954
Description: If any element in 𝐵 is larger or equal to an element in 𝐴, then the infimum of 𝐴 is smaller or equal to the infimum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infleinf2.x 𝑥𝜑
infleinf2.p 𝑦𝜑
infleinf2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infleinf2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
infleinf2.y ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
infleinf2 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infleinf2
StepHypRef Expression
1 infleinf2.x . . 3 𝑥𝜑
2 infleinf2.y . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
3 infleinf2.p . . . . . 6 𝑦𝜑
4 nfv 1883 . . . . . 6 𝑦 𝑥𝐵
53, 4nfan 1868 . . . . 5 𝑦(𝜑𝑥𝐵)
6 nfv 1883 . . . . 5 𝑦inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥
7 infleinf2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87infxrcld 39925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
983ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1093adant1r 1359 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12113adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
13123adant1r 1359 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 infleinf2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
1514sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16153ad2ant1 1102 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
177adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
18 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
19 infxrlb 12202 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
2017, 18, 19syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
21203adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
22213adant1r 1359 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑦)
23 simp3 1083 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
2410, 13, 16, 22, 23xrletrd 12031 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑦𝑥) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
25243exp 1283 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)))
265, 6, 25rexlimd 3055 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑦𝑥 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
272, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
281, 27ralrimia 39629 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
29 infxrgelb 12203 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3014, 8, 29syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐵 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3128, 30mpbird 247 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  infcinf 8388  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  infrnmptle  39963  infxrpnf  39987
  Copyright terms: Public domain W3C validator