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Theorem infpssrlem4 9080
Description: Lemma for infpssr 9082. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
infpssrlem.a (𝜑𝐵𝐴)
infpssrlem.c (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
infpssrlem.d (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
infpssrlem.e 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
infpssrlem4 ((𝜑𝑀 ∈ ω ∧ 𝑁𝑀) → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁))

Proof of Theorem infpssrlem4
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → (𝐺𝑐) = (𝐺‘∅))
21neeq1d 2849 . . . . . . 7 (𝑐 = ∅ → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏)))
32raleqbi1dv 3138 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏)))
43imbi2d 330 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏))))
5 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑑))
65neeq1d 2849 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
76raleqbi1dv 3138 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
87imbi2d 330 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
9 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑐 = suc 𝑑 → (𝐺𝑐) = (𝐺‘suc 𝑑))
109neeq1d 2849 . . . . . . 7 (𝑐 = suc 𝑑 → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
1110raleqbi1dv 3138 . . . . . 6 (𝑐 = suc 𝑑 → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
1211imbi2d 330 . . . . 5 (𝑐 = suc 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
13 fveq2 6153 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑀 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑀))
1413neeq1d 2849 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑀 → ((𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏)))
1514raleqbi1dv 3138 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑀 → (∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏) ↔ ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏)))
1615imbi2d 330 . . . . 5 (𝑐 = 𝑀 → ((𝜑 → ∀𝑏𝑐 (𝐺𝑐) ≠ (𝐺𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏))))
17 ral0 4053 . . . . . 6 𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏)
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺𝑏))
19 infpssrlem.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
20 f1ocnv 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
21 f1of 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐹:𝐴𝐵)
24 infpssrlem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵𝐴)
25 infpssrlem.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐵))
26 infpssrlem.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (rec(𝐹, 𝐶) ↾ ω)
2724, 19, 25, 26infpssrlem3 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺:ω⟶𝐴)
2827ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑑 ∈ ω) → (𝐺𝑑) ∈ 𝐴)
2928ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑑) ∈ 𝐴)
3023, 29ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ∈ 𝐵)
3125eldifbd 3572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐵)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → ¬ 𝐶𝐵)
33 nelne2 2887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹‘(𝐺𝑑)) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶𝐵) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ 𝐶)
3430, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ 𝐶)
3524, 19, 25, 26infpssrlem2 9078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) = (𝐹‘(𝐺𝑑)))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑑) = (𝐹‘(𝐺𝑑)))
3724, 19, 25, 26infpssrlem1 9077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘∅) = 𝐶)
3934, 36, 383netr4d 2867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅))
40393adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅))
411neeq2d 2850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = ∅ → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅)))
4240, 41syl5ibr 236 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = ∅ → ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
4342adantrd 484 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = ∅ → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
44 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ suc 𝑑)
45 peano2 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ω → suc 𝑑 ∈ ω)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → suc 𝑑 ∈ ω)
47 elnn 7029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ suc 𝑑 ∧ suc 𝑑 ∈ ω) → 𝑐 ∈ ω)
4844, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ ω)
49483ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ ω)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → 𝑐 ∈ ω)
51 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → 𝑐 ≠ ∅)
52 nnsuc 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏)
5350, 51, 52syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → ∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏)
54 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏 𝑑 ∈ ω
55 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏𝜑
56 nfra1 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑏𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)
5754, 55, 56nf3an 1828 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏(𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
58 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑏 𝑐 ∈ suc 𝑑
5957, 58nfan 1825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)
60 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑏(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)
61 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
62 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → suc 𝑏 ∈ suc 𝑑)
63 nnord 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 ∈ ω → Ord 𝑑)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → Ord 𝑑)
65 ordsucelsuc 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Ord 𝑑 → (𝑏𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
6762, 66mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → 𝑏𝑑)
68673ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → 𝑏𝑑)
6968adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → 𝑏𝑑)
70 rsp 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝑏𝑑 → (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
7161, 69, 70sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
72 f1of1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
7319, 20, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐵)
7473ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
7529adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺𝑑) ∈ 𝐴)
7627ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑏 ∈ ω) → (𝐺𝑏) ∈ 𝐴)
7776adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺𝑏) ∈ 𝐴)
78 f1fveq 6479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹:𝐴1-1𝐵 ∧ ((𝐺𝑑) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑏) ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝐺𝑏)) ↔ (𝐺𝑑) = (𝐺𝑏)))
7974, 75, 77, 78syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐺𝑑)) = (𝐹‘(𝐺𝑏)) ↔ (𝐺𝑑) = (𝐺𝑏)))
8079necon3bid 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏)) ↔ (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
8180biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏))))
8235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑑) = (𝐹‘(𝐺𝑑)))
8324, 19, 25, 26infpssrlem2 9078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑏) = (𝐹‘(𝐺𝑏)))
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑏) = (𝐹‘(𝐺𝑏)))
8582, 84neeq12d 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏))))
8685adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏) ↔ (𝐹‘(𝐺𝑑)) ≠ (𝐹‘(𝐺𝑏))))
8781, 86sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
8887adantrl 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
89883adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → ((𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
9071, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑𝑏 ∈ ω)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏))
9190expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
92 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = suc 𝑏 → (𝑐 ∈ suc 𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
9392anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = suc 𝑏 → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) ↔ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑)))
94 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺‘suc 𝑏))
9594neeq2d 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
9695imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)) ↔ (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏))))
9793, 96imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = suc 𝑏 → ((((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))) ↔ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))))
9891, 97mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = suc 𝑏 → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))))
9998com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))))
10059, 60, 99rexlimd 3020 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
101100adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → (∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
10253, 101mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))
103102ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ≠ ∅ → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐)))
10443, 103pm2.61ine 2873 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))
105104ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → ∀𝑐 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐))
106 fveq2 6153 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑏 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑏))
107106neeq2d 2850 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏 → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏)))
108107cbvralv 3162 . . . . . . . 8 (∀𝑐 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
109105, 108sylib 208 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))
1101093exp 1261 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ω → (𝜑 → (∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏) → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
111110a2d 29 . . . . 5 (𝑑 ∈ ω → ((𝜑 → ∀𝑏𝑑 (𝐺𝑑) ≠ (𝐺𝑏)) → (𝜑 → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺𝑏))))
1124, 8, 12, 16, 18, 111finds 7046 . . . 4 (𝑀 ∈ ω → (𝜑 → ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏)))
113112impcom 446 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ω) → ∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏))
114 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑏 = 𝑁 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑁))
115114neeq2d 2850 . . . 4 (𝑏 = 𝑁 → ((𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏) ↔ (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁)))
116115rspccv 3295 . . 3 (∀𝑏𝑀 (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑏) → (𝑁𝑀 → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁)))
117113, 116syl 17 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ω) → (𝑁𝑀 → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁)))
1181173impia 1258 1 ((𝜑𝑀 ∈ ω ∧ 𝑁𝑀) → (𝐺𝑀) ≠ (𝐺𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3556  wss 3559  c0 3896  ccnv 5078  cres 5081  Ord word 5686  suc csuc 5689  wf 5848  1-1wf1 5849  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  ωcom 7019  reccrdg 7457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458
This theorem is referenced by:  infpssrlem5  9081
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