Theorem infrenegsup 11626

Description: The infimum of a set of reals 𝐴 is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that 𝐴 is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infrenegsup	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infrenegsup

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infrecl 11625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2	1	recnd 10671	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
3	2	negnegd 10990	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
4		negeq 10880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → -𝑤 = -𝑧)
5	4	cbvmptv 5171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ -𝑧)
6	5	mptpreima 6094	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}
7		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
8	7	negiso 11623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤))
9	8	simpri 488	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)
10	9	imaeq1i 5928	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
11	6, 10	eqtr3i 2848	. . . . . 6 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴} = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴)
12	11	supeq1i 8913	. . . . 5 ⊢ sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < )
13	8	simpli 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ)
14		isocnv 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) → ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ)
16		isoeq1 7072	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) → (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ)))
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ))
18	15, 17	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ)
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) Isom ◡ < , < (ℝ, ℝ))
20		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
21		infm3 11602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
22		vex 3499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
23		vex 3499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
24	22, 23	brcnv 5755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥◡ < 𝑦 ↔ 𝑦 < 𝑥)
25	24	notbii 322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < 𝑥)
26	25	ralbii 3167	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥)
27	23, 22	brcnv 5755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦◡ < 𝑥 ↔ 𝑥 < 𝑦)
28		vex 3499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑧 ∈ V
29	23, 28	brcnv 5755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦◡ < 𝑧 ↔ 𝑧 < 𝑦)
30	29	rexbii 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)
31	27, 30	imbi12i 353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
32	31	ralbii 3167	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦))
33	26, 32	anbi12i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
34	33	rexbii 3249	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 < 𝑦)))
35	21, 34	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥◡ < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦◡ < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦◡ < 𝑧)))
36		gtso 10724	. . . . . . 7 ⊢ ◡ < Or ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ◡ < Or ℝ)
38	19, 20, 35, 37	supiso 8941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤) “ 𝐴), ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )))
39	12, 38	syl5eq 2870	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )))
40		df-inf 8909	. . . . . . . 8 ⊢ inf(𝐴, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, ◡ < )
41	40	eqcomi 2832	. . . . . . 7 ⊢ sup(𝐴, ℝ, ◡ < ) = inf(𝐴, ℝ, < )
42	41	fveq2i 6675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )) = ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < ))
43		negeq 10880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = inf(𝐴, ℝ, < ) → -𝑤 = -inf(𝐴, ℝ, < ))
44		negex 10886	. . . . . . 7 ⊢ -inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ V
45	43, 7, 44	fvmpt 6770	. . . . . 6 ⊢ (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘inf(𝐴, ℝ, < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
46	42, 45	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
47	1, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ -𝑤)‘sup(𝐴, ℝ, ◡ < )) = -inf(𝐴, ℝ, < ))
48	39, 47	eqtr2d 2859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → -inf(𝐴, ℝ, < ) = sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
49	48	negeqd 10882	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → --inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))
50	3, 49	eqtr3d 2860	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ 𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  {crab 3144   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   Or wor 5475  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560  ‘cfv 6357   Isom wiso 6358  supcsup 8906  infcinf 8907  ℝcr 10538   < clt 10677   ≤ cle 10678  -cneg 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  supminf  12338  mbfinf  24268  infnsuprnmpt  41529  supminfxr  41747