MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infssuzcl 12320
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers belongs to the subset. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infssuzcl ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem infssuzcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 12252 . . . 4 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 11976 . . . 4 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3973 . . 3 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
4 sstr 3972 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℝ) → 𝑆 ⊆ ℝ)
53, 4mpan2 687 . 2 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6 uzwo 12299 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘)
7 lbinfcl 11583 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑗𝑆𝑘𝑆 𝑗𝑘) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
85, 6, 7syl2an2r 681 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  infcinf 8893  cr 10524   < clt 10663  cle 10664  cz 11969  cuz 12231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232
This theorem is referenced by:  zsupss  12325  uzwo3  12331  divalglem2  15734  bitsfzolem  15771  bezoutlem2  15876  lcmcllem  15928  lcmfval  15953  lcmfcllem  15957  odzcllem  16117  4sqlem13  16281  4sqlem14  16282  4sqlem17  16285  4sqlem18  16286  vdwnnlem3  16321  ramcl2lem  16333  ramtcl  16334  odfval  18589  odlem1  18592  odlem2  18596  gexlem1  18633  gexlem2  18636  zringlpirlem2  20560  zringlpirlem3  20561  ovolicc2lem4  24048  iundisj  24076  ig1peu  24692  ig1pdvds  24697  elqaalem1  24835  elqaalem3  24837  ftalem4  25580  ftalem5  25581  iundisjf  30267  iundisjfi  30445  dgraalem  39623  allbutfiinf  41570  ioodvbdlimc1lem1  42092  fourierdlem31  42300  elaa2lem  42395  etransclem48  42444
  Copyright terms: Public domain W3C validator