Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxpabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxpabs 9072
 Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infxpabs (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infxpabs
StepHypRef Expression
1 infxpdom 9071 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
213expa 1284 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
32adantrl 752 . 2 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴)
4 simpll 805 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ dom card)
5 numdom 8899 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
65ad2ant2rl 800 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
7 simprl 809 . . 3 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ≠ ∅)
8 xpdom3 8099 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
94, 6, 7, 8syl3anc 1366 . 2 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵))
10 sbth 8121 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐵)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
113, 9, 10syl2anc 694 1 (((𝐴 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐴) ∧ (𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐴 × 𝐵) ≈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143  ωcom 7107   ≈ cen 7994   ≼ cdom 7995  cardccrd 8799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-oi 8456  df-card 8803 This theorem is referenced by:  infxp  9075  infmap2  9078
 Copyright terms: Public domain W3C validator