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Theorem infxr 39396
Description: The infimum of a set of extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxr.x 𝑥𝜑
infxr.y 𝑦𝜑
infxr.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
infxr.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
infxr.n (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
infxr.e (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
infxr (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infxr
StepHypRef Expression
1 infxr.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2 infxr.n . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵)
3 infxr.x . . 3 𝑥𝜑
4 infxr.e . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
54r19.21bi 2929 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
65adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
7 simplll 797 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝜑)
8 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ ℝ)
10 mnfxr 10081 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ∈ ℝ*)
12 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
131ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 mnfle 11954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
151, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ≤ 𝐵)
1615ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ ≤ 𝐵)
17 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
1811, 13, 12, 16, 17xrlelttrd 11976 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → -∞ < 𝑥)
1911, 12, 18xrgtned 39351 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
2019adantlr 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
218, 9, 20xrnmnfpnf 39076 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
22 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
23 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝜑)
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = -∞ → 𝐵 = -∞)
25 1re 10024 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
26 mnflt 11942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 1
2824, 27syl6eqbr 4683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = -∞ → 𝐵 < 1)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 = -∞) → 𝐵 < 1)
30 1red 10040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
31 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝐵 < 𝑥𝐵 < 1))
32 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
3332rexbidv 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3431, 33imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)))
3534rspcva 3302 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3630, 4, 35syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1))
3723, 29, 36sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
3837adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 1)
39 infxr.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
40 nfv 1841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑥 = +∞
4139, 40nfan 1826 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑥 = +∞)
42 infxr.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
4342sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4443ad4ant13 1290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 ∈ ℝ*)
4525rexri 10082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ*
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 ∈ ℝ*)
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 𝑥 = +∞)
48 pnfxr 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
4947, 48syl6eqel 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5150ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑥 ∈ ℝ*)
52 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 1)
53 ltpnf 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5425, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < +∞
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → 1 < +∞)
5647eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = +∞ → +∞ = 𝑥)
5755, 56breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = +∞ → 1 < 𝑥)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = +∞) → 1 < 𝑥)
5958ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 1 < 𝑥)
6044, 46, 51, 52, 59xrlttrd 11975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < 1) → 𝑦 < 𝑥)
6160ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥))
6261ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = +∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < 1 → 𝑦 < 𝑥)))
6341, 62reximdai 3009 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = +∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 1 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
6538, 64mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
66653adantl3 1217 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
671adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
68673ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6924necon3bi 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = -∞ → 𝐵 ≠ -∞)
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ -∞)
7148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ ∈ ℝ*)
72 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < 𝑥)
73 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 = +∞)
7472, 73breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
75743adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 < +∞)
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < +∞)
7768, 71, 76xrltned 39386 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≠ +∞)
7868, 70, 77xrred 39394 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
7925a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 1 ∈ ℝ)
8078, 79readdcld 10054 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
814adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
82813ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
8380, 82jca 554 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
8478ltp1d 10939 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
85 breq2 4648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝐵 < 𝑥𝐵 < (𝐵 + 1)))
86 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < (𝐵 + 1)))
8786rexbidv 3048 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐵 + 1) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
8885, 87imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐵 + 1) → ((𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))))
8988rspcva 3302 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → (𝐵 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1)))
9083, 84, 89sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1))
91 nfv 1841 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝐵 < 𝑥
9239, 40, 91nf3an 1829 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥)
93 nfv 1841 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ¬ 𝐵 = -∞
9492, 93nfan 1826 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞)
95433ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9695ad4ant13 1290 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9780adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9897rexrd 10074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
100503adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
101100ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
102 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < (𝐵 + 1))
10380ltpnfd 11940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < +∞)
10456adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = +∞ ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
1051043ad2antl2 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → +∞ = 𝑥)
106103, 105breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
107106ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → (𝐵 + 1) < 𝑥)
10896, 99, 101, 102, 107xrlttrd 11975 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑦 < (𝐵 + 1)) → 𝑦 < 𝑥)
109108ex 450 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥))
110109ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (𝑦𝐴 → (𝑦 < (𝐵 + 1) → 𝑦 < 𝑥)))
11194, 110reximdai 3009 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → (∃𝑦𝐴 𝑦 < (𝐵 + 1) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
11290, 111mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) ∧ ¬ 𝐵 = -∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
11366, 112pm2.61dan 831 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = +∞ ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
1147, 21, 22, 113syl3anc 1324 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)
115114ex 450 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
1166, 115pm2.61dan 831 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
117116ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)))
1183, 117ralrimi 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥))
119 xrltso 11959 . . . . 5 < Or ℝ*
120119a1i 11 . . . 4 (⊤ → < Or ℝ*)
121120eqinf 8375 . . 3 (⊤ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵))
122121trud 1491 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥𝐴 ¬ 𝑥 < 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 < 𝑥 → ∃𝑦𝐴 𝑦 < 𝑥)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
1231, 2, 118, 122syl3anc 1324 1 (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wtru 1482  wnf 1706  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  wss 3567   class class class wbr 4644   Or wor 5024  (class class class)co 6635  infcinf 8332  cr 9920  1c1 9922   + caddc 9924  +∞cpnf 10056  -∞cmnf 10057  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254
This theorem is referenced by:  infxrunb2  39397
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