MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrcl 12716
Description: The infimum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrcl (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem infxrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 12524 . . 3 < Or ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
3 xrinfmss 12693 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧 < 𝑦)))
42, 3infcl 8941 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3935   Or wor 5467  infcinf 8894  *cxr 10663   < clt 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  infxrlb  12717  infxrgelb  12718  infxrre  12719  infxrmnf  12720  infxrss  12722  ixxlb  12750  limsupcl  14820  limsupval2  14827  imasdsf1olem  22912  nmoffn  23249  nmofval  23252  nmolb  23255  nmof  23257  metdsf  23385  ovolcl  24008  infrpge  41499  infxrbnd2  41517  infleinflem1  41518  infleinf  41520  infxrcld  41541  infxrpnf  41601  inficc  41690  liminfgord  41915  liminfgf  41919  liminfcl  41924  liminfval2  41929  liminflelimsuplem  41936  liminfvalxr  41944  ovnsubaddlem1  42733  ovolval5lem3  42817
  Copyright terms: Public domain W3C validator