Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrlbrnmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrlbrnmpt2 41560
Description: A member of a nonempty indexed set of reals is greater than or equal to the set's lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
infxrlbrnmpt2.x 𝑥𝜑
infxrlbrnmpt2.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.c (𝜑𝐶𝐴)
infxrlbrnmpt2.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
infxrlbrnmpt2.e (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
infxrlbrnmpt2 (𝜑 → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem infxrlbrnmpt2
StepHypRef Expression
1 infxrlbrnmpt2.x . . 3 𝑥𝜑
2 eqid 2818 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
3 infxrlbrnmpt2.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41, 2, 3rnmptssd 41334 . 2 (𝜑 → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
5 infxrlbrnmpt2.c . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
6 infxrlbrnmpt2.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
7 infxrlbrnmpt2.e . . . 4 (𝑥 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
82, 7elrnmpt1s 5822 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷 ∈ ℝ*) → 𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
95, 6, 8syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵))
10 infxrlb 12715 . 2 ((ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ*𝐷 ∈ ran (𝑥𝐴𝐵)) → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
114, 9, 10syl2anc 584 1 (𝜑 → inf(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  infcinf 8893  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861
This theorem is referenced by:  limsuplesup  41856
  Copyright terms: Public domain W3C validator