Theorem infxrlesupxr 41702

Description: The supremum of a nonempty set is greater than or equal to the infimum. The second condition is needed, see supxrltinfxr 41716. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infxrlesupxr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
infxrlesupxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
infxrlesupxr	⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrlesupxr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infxrlesupxr.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
2		n0 4310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	2	biimpi 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5		infxrlesupxr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
6	5	infxrcld 41653	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	5	sselda 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9	5	supxrcld 41366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	9	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
12		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
13		infxrlb 12721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
14	11, 12, 13	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ*, < )
16	11, 12, 15	supxrubd 41373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	7, 8, 10, 14, 16	xrletrd 12549	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	17	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
19	18	exlimdv 1930	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < )))
20	4, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  supcsup 8898  infcinf 8899  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  42048