MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrre 12204
Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrre
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 ressxr 10121 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2syl6ss 3648 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4 infxrcl 12201 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 infrecl 11043 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
76rexrd 10127 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8 xrleid 12021 . . . 4 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
10 infxrgelb 12203 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
113, 5, 10syl2anc 694 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
12 simp2 1082 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
13 n0 3964 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
1412, 13sylib 208 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
155adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
161sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
17 mnfxr 10134 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
196mnfltd 11996 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ, < ))
206leidd 10632 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
21 infregelb 11045 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
226, 21mpdan 703 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23 infxrgelb 12203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
243, 7, 23syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
2522, 24bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
2620, 25mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
2718, 7, 5, 19, 26xrltletrd 12030 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
2827adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
29 infxrlb 12202 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
303, 29sylan 487 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
31 xrre 12038 . . . . . . 7 (((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3215, 16, 28, 30, 31syl22anc 1367 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3314, 32exlimddv 1903 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
34 infregelb 11045 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3533, 34mpdan 703 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3611, 35bitr4d 271 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
379, 36mpbid 222 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
385, 7, 37, 26xrletrid 12024 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  infcinf 8388  cr 9973  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  mbflimsup  23478  infxrrefi  39914  supminfxr  40007  climinf2lem  40256  limsupvaluz2  40288
  Copyright terms: Public domain W3C validator