MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrre 12106
Description: The real and extended real infima match when the real infimum exists. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem infxrre
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 ressxr 10028 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2syl6ss 3600 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4 infxrcl 12103 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 infrecl 10950 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
76rexrd 10034 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
8 xrleid 11927 . . . 4 (inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
10 infxrgelb 12105 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
113, 5, 10syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
12 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
13 n0 3912 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧𝐴)
1412, 13sylib 208 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → ∃𝑧 𝑧𝐴)
155adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
161sselda 3588 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
17 mnfxr 10041 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ ∈ ℝ*)
196mnfltd 11902 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ, < ))
206leidd 10539 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
21 infregelb 10952 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
226, 21mpdan 701 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
23 infxrgelb 12105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
243, 7, 23syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑥))
2522, 24bitr4d 271 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < )))
2620, 25mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
2718, 7, 5, 19, 26xrltletrd 11936 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
2827adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → -∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ))
29 infxrlb 12104 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
303, 29sylan 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)
31 xrre 11942 . . . . . . 7 (((inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < inf(𝐴, ℝ*, < ) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑧)) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3215, 16, 28, 30, 31syl22anc 1324 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3314, 32exlimddv 1865 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
34 infregelb 10952 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) ∧ inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3533, 34mpdan 701 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
3611, 35bitr4d 271 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → (inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < )))
379, 36mpbid 222 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
385, 7, 37, 26xrletrid 11930 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦) → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  infcinf 8292  cr 9880  -∞cmnf 10017  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214
This theorem is referenced by:  mbflimsup  23334  infxrrefi  39052  climinf2lem  39329  limsupvaluz2  39361
  Copyright terms: Public domain W3C validator