MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infxrss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrss 12362
Description: Larger sets of extended reals have smaller infima. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infxrss ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 809 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
2 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → 𝐴𝐵)
32sselda 3744 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
4 infxrlb 12357 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑥𝐵) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
51, 3, 4syl2anc 696 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
65ralrimiva 3104 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → ∀𝑥𝐴 inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
7 sstr 3752 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8 infxrcl 12356 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
98adantl 473 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10 infxrgelb 12358 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ inf(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
117, 9, 10syl2anc 696 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → (inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
126, 11mpbird 247 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℝ*) → inf(𝐵, ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  wral 3050  wss 3715   class class class wbr 4804  infcinf 8512  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461
This theorem is referenced by:  infxrpnf  40172  ioossioobi  40246  liminflelimsuplem  40510  ovnsslelem  41280  ovolval5lem3  41374
  Copyright terms: Public domain W3C validator