Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  inmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inmap 38861
Description: Intersection of two sets exponentiations. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
inmap.a (𝜑𝐴𝑉)
inmap.b (𝜑𝐵𝑊)
inmap.c (𝜑𝐶𝑍)
Assertion
Ref Expression
inmap (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))

Proof of Theorem inmap
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinel1 3782 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2 elmapi 7824 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐴)
4 elinel2 3783 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
5 elmapi 7824 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝑓:𝐶𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶𝐵)
73, 6jca 554 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝑓:𝐶𝐴𝑓:𝐶𝐵))
8 fin 6044 . . . . . . 7 (𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵) ↔ (𝑓:𝐶𝐴𝑓:𝐶𝐵))
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
109adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵))
11 inmap.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
12 inss1 3816 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
1411, 13ssexd 4770 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
15 inmap.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑍)
1614, 15elmapd 7817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵)))
1716adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ 𝑓:𝐶⟶(𝐴𝐵)))
1810, 17mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
1918ralrimiva 2965 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
20 dfss3 3578 . . 3 (((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
2119, 20sylibr 224 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
22 mapss 7845 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
2311, 13, 22syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐴𝑚 𝐶))
24 inmap.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
25 inss2 3817 . . . . 5 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵)
27 mapss 7845 . . . 4 ((𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐵) → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
2824, 26, 27syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
2923, 28ssind 3820 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶) ⊆ ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)))
3021, 29eqssd 3605 1 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ∩ (𝐵𝑚 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  Vcvv 3191  cin 3559  wss 3560  wf 5846  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-map 7805
This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  40168  vonvolmbl  40169
  Copyright terms: Public domain W3C validator