Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  int-leftdistd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem int-leftdistd 38799
Description: AdditionMultiplicationLeftDistribution generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
int-leftdistd.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
int-leftdistd.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
int-leftdistd.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
int-leftdistd.4 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
int-leftdistd (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))

Proof of Theorem int-leftdistd
StepHypRef Expression
1 int-leftdistd.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
21recnd 10106 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 int-leftdistd.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
43recnd 10106 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 int-leftdistd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 10106 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
72, 4, 6adddird 10103 . 2 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
82, 6mulcld 10098 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
94, 6mulcld 10098 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
108, 9addcomd 10276 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)))
119, 8addcomd 10276 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)))
12 int-leftdistd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 = 𝐵)
1312eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐴)
1413oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 · 𝐵) = (𝐶 · 𝐴))
1513oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐷 · 𝐴))
1614, 15oveq12d 6708 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
1711, 16eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) + (𝐶 · 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
187, 10, 173eqtrd 2689 1 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) · 𝐵) = ((𝐶 · 𝐴) + (𝐷 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cr 9973   + caddc 9977   · cmul 9979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator