MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  intpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intpreima 6830
Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
intpreima ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝐴) = 𝑥𝐴 (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem intpreima
StepHypRef Expression
1 intiin 4974 . . 3 𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥
21imaeq2i 5920 . 2 (𝐹 𝐴) = (𝐹 𝑥𝐴 𝑥)
3 iinpreima 6829 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝑥𝐴 𝑥) = 𝑥𝐴 (𝐹𝑥))
42, 3syl5eq 2865 1 ((Fun 𝐹𝐴 ≠ ∅) → (𝐹 𝐴) = 𝑥𝐴 (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wne 3013  c0 4288   cint 4867   ciin 4911  ccnv 5547  cima 5551  Fun wfun 6342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  subbascn  21790
  Copyright terms: Public domain W3C validator