Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  invginvrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invginvrid 42047
Description: Identity for a multiplication with additive and multiplicative inverses in a ring. (Contributed by AV, 18-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invginvrid.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invginvrid.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invginvrid.n 𝑁 = (invg𝑅)
invginvrid.i 𝐼 = (invr𝑅)
invginvrid.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
invginvrid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem invginvrid
StepHypRef Expression
1 eqid 2514 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21ringmgp 18283 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
323ad2ant1 1074 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
4 ringgrp 18282 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5 invginvrid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 invginvrid.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
75, 6unitcl 18389 . . . . 5 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
8 invginvrid.n . . . . . 6 𝑁 = (invg𝑅)
95, 8grpinvcl 17182 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
104, 7, 9syl2an 492 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
11103adant2 1072 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
126, 8unitnegcl 18411 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝑈)
13 invginvrid.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
146, 13, 5ringinvcl 18406 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
1512, 14syldan 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
16153adant2 1072 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵)
17 simp2 1054 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
181, 5mgpbas 18225 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19 invginvrid.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
201, 19mgpplusg 18223 . . . . 5 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2118, 20mndass 17017 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋) = ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)))
2221eqcomd 2520 . . 3 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ((𝑁𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘(𝑁𝑌)) ∈ 𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋))
233, 11, 16, 17, 22syl13anc 1319 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋))
24 simp1 1053 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
25123adant2 1072 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑁𝑌) ∈ 𝑈)
26 eqid 2514 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
276, 13, 19, 26unitrinv 18408 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) = (1r𝑅))
2824, 25, 27syl2anc 690 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) = (1r𝑅))
2928oveq1d 6441 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((𝑁𝑌) · (𝐼‘(𝑁𝑌))) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
305, 19, 26ringlidm 18301 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
31303adant3 1073 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
3223, 29, 313eqtrd 2552 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑁𝑌) · ((𝐼‘(𝑁𝑌)) · 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  cfv 5689  (class class class)co 6426  Basecbs 15579  .rcmulr 15653  Mndcmnd 17009  Grpcgrp 17137  invgcminusg 17138  mulGrpcmgp 18219  1rcur 18231  Ringcrg 18277  Unitcui 18369  invrcinvr 18401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-tpos 7114  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-0g 15809  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-mgp 18220  df-ur 18232  df-ring 18279  df-oppr 18353  df-dvdsr 18371  df-unit 18372  df-invr 18402
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem1  42167
  Copyright terms: Public domain W3C validator