MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invinv 16195
Description: The inverse of the inverse of an isomorphism is itself. Proposition 3.14(1) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
isoval.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invinv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
invinv (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)

Proof of Theorem invinv
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . 4 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5invsym2 16188 . . 3 (𝜑(𝑋𝑁𝑌) = (𝑌𝑁𝑋))
76fveq1d 6086 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)))
8 isoval.n . . . 4 𝐼 = (Iso‘𝐶)
91, 2, 3, 4, 5, 8invf1o 16194 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋))
10 invinv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
11 f1ocnvfv1 6406 . . 3 (((𝑋𝑁𝑌):(𝑋𝐼𝑌)–1-1-onto→(𝑌𝐼𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ((𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
129, 10, 11syl2anc 690 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
137, 12eqtr3d 2641 1 (𝜑 → ((𝑌𝑁𝑋)‘((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  ccnv 5023  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  Catccat 16090  Invcinv 16170  Isociso 16171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-cat 16094  df-cid 16095  df-sect 16172  df-inv 16173  df-iso 16174
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator