MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inviso1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inviso1 16347
Description: If 𝐺 is an inverse to 𝐹, then 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invfval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invfval.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invfval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invfval.x (𝜑𝑋𝐵)
invfval.y (𝜑𝑌𝐵)
isoval.n 𝐼 = (Iso‘𝐶)
inviso1.1 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
Assertion
Ref Expression
inviso1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem inviso1
StepHypRef Expression
1 invfval.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invfval.n . . . . 5 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 invfval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 invfval.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
5 invfval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5invfun 16345 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑋𝑁𝑌))
7 funrel 5864 . . . 4 (Fun (𝑋𝑁𝑌) → Rel (𝑋𝑁𝑌))
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → Rel (𝑋𝑁𝑌))
9 inviso1.1 . . 3 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺)
10 releldm 5318 . . 3 ((Rel (𝑋𝑁𝑌) ∧ 𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺) → 𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
118, 9, 10syl2anc 692 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑋𝑁𝑌))
12 isoval.n . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
131, 2, 3, 4, 5, 12isoval 16346 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = dom (𝑋𝑁𝑌))
1411, 13eleqtrrd 2701 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  Rel wrel 5079  Fun wfun 5841  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Catccat 16246  Invcinv 16326  Isociso 16327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-cat 16250  df-cid 16251  df-sect 16328  df-inv 16329  df-iso 16330
This theorem is referenced by:  inviso2  16348  isoco  16358  idiso  16369  cicref  16382  funciso  16455  ffthiso  16510  fuciso  16556  initoeu1  16582  termoeu1  16589  catciso  16678  yoneda  16844
  Copyright terms: Public domain W3C validator