MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invisoinvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invisoinvr 16383
Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
invisoinv.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
invisoinv.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
invisoinv.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
invisoinv.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
invisoinv.x (𝜑𝑋𝐵)
invisoinv.y (𝜑𝑌𝐵)
invisoinv.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
invisoinvr (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))

Proof of Theorem invisoinvr
StepHypRef Expression
1 invisoinv.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 invisoinv.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3 invisoinv.n . . 3 𝑁 = (Inv‘𝐶)
4 invisoinv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 invisoinv.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 invisoinv.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
7 invisoinv.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7invisoinvl 16382 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹)
91, 3, 4, 5, 6invsym 16354 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹) ↔ ((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹)(𝑌𝑁𝑋)𝐹))
108, 9mpbird 247 1 (𝜑𝐹(𝑋𝑁𝑌)((𝑋𝑁𝑌)‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  Catccat 16257  Invcinv 16337  Isociso 16338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-cat 16261  df-cid 16262  df-sect 16339  df-inv 16340  df-iso 16341
This theorem is referenced by:  invcoisoid  16384
  Copyright terms: Public domain W3C validator