MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrvald 20463
Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invrvald.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t · = (.r𝑅)
invrvald.o 1 = (1r𝑅)
invrvald.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i 𝐼 = (invr𝑅)
invrvald.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x (𝜑𝑋𝐵)
invrvald.y (𝜑𝑌𝐵)
invrvald.xy (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
invrvald (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald
StepHypRef Expression
1 invrvald.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2 invrvald.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
3 invrvald.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2620 . . . . . 6 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
5 invrvald.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
63, 4, 5dvdsrmul 18629 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8 invrvald.yx . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
97, 8breqtrd 4670 . . 3 (𝜑𝑋(∥r𝑅) 1 )
10 eqid 2620 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
1110, 3opprbas 18610 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
12 eqid 2620 . . . . . 6 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
13 eqid 2620 . . . . . 6 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
1411, 12, 13dvdsrmul 18629 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
151, 2, 14syl2anc 692 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
163, 5, 10, 13opprmul 18607 . . . . 5 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17 invrvald.xy . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
1816, 17syl5eq 2666 . . . 4 (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 )
1915, 18breqtrd 4670 . . 3 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
20 invrvald.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21 invrvald.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2220, 21, 4, 10, 12isunit 18638 . . 3 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅) 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
239, 19, 22sylanbrc 697 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
24 invrvald.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2620 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
2620, 25, 21unitgrpid 18650 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2817, 27eqtrd 2654 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2920, 25unitgrp 18648 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3024, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
313, 4, 5dvdsrmul 18629 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
322, 1, 31syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
3332, 17breqtrd 4670 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r𝑅) 1 )
3411, 12, 13dvdsrmul 18629 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
352, 1, 34syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
363, 5, 10, 13opprmul 18607 . . . . . . 7 (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
3736, 8syl5eq 2666 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = 1 )
3835, 37breqtrd 4670 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
3920, 21, 4, 10, 12isunit 18638 . . . . 5 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌(∥r𝑅) 1𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
4033, 38, 39sylanbrc 697 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4120, 25unitgrpbas 18647 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42 fvex 6188 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) ∈ V
4320, 42eqeltri 2695 . . . . . 6 𝑈 ∈ V
44 eqid 2620 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4544, 5mgpplusg 18474 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4625, 45ressplusg 15974 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4743, 46ax-mp 5 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48 eqid 2620 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
49 invrvald.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
5020, 25, 49invrfval 18654 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5141, 47, 48, 50grpinvid1 17451 . . . 4 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5230, 23, 40, 51syl3anc 1324 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5328, 52mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) = 𝑌)
5423, 53jca 554 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  s cress 15839  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  0gc0g 16081  Grpcgrp 17403  mulGrpcmgp 18470  1rcur 18482  Ringcrg 18528  opprcoppr 18603  rcdsr 18619  Unitcui 18620  invrcinvr 18652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653
This theorem is referenced by:  matinv  20464  matunit  20465
  Copyright terms: Public domain W3C validator