MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  invrvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem invrvald 20225
Description: If a matrix multiplied with a given matrix (from the left as well as from the right) results in the identity matrix, this matrix is the inverse (matrix) of the given matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
invrvald.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrvald.t · = (.r𝑅)
invrvald.o 1 = (1r𝑅)
invrvald.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
invrvald.i 𝐼 = (invr𝑅)
invrvald.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
invrvald.x (𝜑𝑋𝐵)
invrvald.y (𝜑𝑌𝐵)
invrvald.xy (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
invrvald.yx (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
invrvald (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))

Proof of Theorem invrvald
StepHypRef Expression
1 invrvald.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
2 invrvald.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
3 invrvald.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2514 . . . . . 6 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
5 invrvald.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
63, 4, 5dvdsrmul 18399 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 690 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r𝑅)(𝑌 · 𝑋))
8 invrvald.yx . . . 4 (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = 1 )
97, 8breqtrd 4507 . . 3 (𝜑𝑋(∥r𝑅) 1 )
10 eqid 2514 . . . . . . 7 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
1110, 3opprbas 18380 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
12 eqid 2514 . . . . . 6 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
13 eqid 2514 . . . . . 6 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
1411, 12, 13dvdsrmul 18399 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
151, 2, 14syl2anc 690 . . . 4 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅))(𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋))
163, 5, 10, 13opprmul 18377 . . . . 5 (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌)
17 invrvald.xy . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = 1 )
1816, 17syl5eq 2560 . . . 4 (𝜑 → (𝑌(.r‘(oppr𝑅))𝑋) = 1 )
1915, 18breqtrd 4507 . . 3 (𝜑𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
20 invrvald.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
21 invrvald.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2220, 21, 4, 10, 12isunit 18408 . . 3 (𝑋𝑈 ↔ (𝑋(∥r𝑅) 1𝑋(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
239, 19, 22sylanbrc 694 . 2 (𝜑𝑋𝑈)
24 invrvald.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2514 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
2620, 25, 21unitgrpid 18420 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2817, 27eqtrd 2548 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
2920, 25unitgrp 18418 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
3024, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp)
313, 4, 5dvdsrmul 18399 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
322, 1, 31syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r𝑅)(𝑋 · 𝑌))
3332, 17breqtrd 4507 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r𝑅) 1 )
3411, 12, 13dvdsrmul 18399 . . . . . . 7 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → 𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
352, 1, 34syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅))(𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌))
363, 5, 10, 13opprmul 18377 . . . . . . 7 (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
3736, 8syl5eq 2560 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r‘(oppr𝑅))𝑌) = 1 )
3835, 37breqtrd 4507 . . . . 5 (𝜑𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 )
3920, 21, 4, 10, 12isunit 18408 . . . . 5 (𝑌𝑈 ↔ (𝑌(∥r𝑅) 1𝑌(∥r‘(oppr𝑅)) 1 ))
4033, 38, 39sylanbrc 694 . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
4120, 25unitgrpbas 18417 . . . . 5 𝑈 = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
42 fvex 5996 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) ∈ V
4320, 42eqeltri 2588 . . . . . 6 𝑈 ∈ V
44 eqid 2514 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4544, 5mgpplusg 18244 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4625, 45ressplusg 15723 . . . . . 6 (𝑈 ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)))
4743, 46ax-mp 5 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
48 eqid 2514 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
49 invrvald.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
5020, 25, 49invrfval 18424 . . . . 5 𝐼 = (invg‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))
5141, 47, 48, 50grpinvid1 17206 . . . 4 ((((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈) ∈ Grp ∧ 𝑋𝑈𝑌𝑈) → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5230, 23, 40, 51syl3anc 1317 . . 3 (𝜑 → ((𝐼𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑌) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈))))
5328, 52mpbird 245 . 2 (𝜑 → (𝐼𝑋) = 𝑌)
5423, 53jca 552 1 (𝜑 → (𝑋𝑈 ∧ (𝐼𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  Basecbs 15600  s cress 15601  +gcplusg 15673  .rcmulr 15674  0gc0g 15828  Grpcgrp 17158  mulGrpcmgp 18240  1rcur 18252  Ringcrg 18298  opprcoppr 18373  rcdsr 18389  Unitcui 18390  invrcinvr 18422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-tpos 7112  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-ndx 15603  df-slot 15604  df-base 15605  df-sets 15606  df-ress 15607  df-plusg 15686  df-mulr 15687  df-0g 15830  df-mgm 16978  df-sgrp 17020  df-mnd 17031  df-grp 17161  df-minusg 17162  df-mgp 18241  df-ur 18253  df-ring 18300  df-oppr 18374  df-dvdsr 18392  df-unit 18393  df-invr 18423
This theorem is referenced by:  matinv  20226  matunit  20227
  Copyright terms: Public domain W3C validator