Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioccncflimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioccncflimc 40416
Description: Limit at the upper bound, of a continuous function defined on a left open right closed interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioccncflimc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ioccncflimc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioccncflimc.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioccncflimc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ioccncflimc (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))

Proof of Theorem ioccncflimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioccncflimc.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ))
2 ioccncflimc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 ioccncflimc.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10127 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 ioccncflimc.altb . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
63leidd 10632 . . . 4 (𝜑𝐵𝐵)
72, 4, 4, 5, 6eliocd 40048 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
81, 7cnlimci 23698 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
9 cncfrss 22741 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ)
11 ssid 3657 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
12 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
13 eqid 2651 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))
14 eqid 2651 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1512, 13, 14cncfcn 22759 . . . . . . 7 (((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1610, 11, 15sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
171, 16eleqtrd 2732 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)))
1812cnfldtopon 22633 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
19 resttopon 21013 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
2018, 10, 19sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)))
2112cnfldtop 22634 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
22 unicntop 22636 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2322restid 16141 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2524cnfldtopon 22633 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)
26 cncnp 21132 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,]𝐵)) ∧ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2720, 25, 26sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)) ↔ (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥))))
2817, 27mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) CnP ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ))‘𝑥)))
2928simpld 474 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴(,]𝐵)⟶ℂ)
30 ioossioc 40031 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
32 eqid 2651 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
333recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3422ntrtop 20922 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
3521, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
36 undif 4082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
3710, 36sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))) = ℂ)
3837eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ = ((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵))))
3938fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4035, 39syl5eqr 2699 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ = ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4133, 40eleqtrd 2732 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))))
4241, 7elind 3831 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4321a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
44 ssid 3657 . . . . . . 7 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
4622, 13restntr 21034 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4743, 10, 45, 46syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = (((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝐴(,]𝐵) ∪ (ℂ ∖ (𝐴(,]𝐵)))) ∩ (𝐴(,]𝐵)))
4842, 47eleqtrrd 2733 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)))
497snssd 4372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵))
50 ssequn2 3819 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5149, 50sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5251eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))
5352oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))
5453fveq2d 6233 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵}))))
55 snunioo2 40049 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
562, 4, 5, 55syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
5756eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5854, 57fveq12d 6235 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,]𝐵)))‘(𝐴(,]𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
5948, 58eleqtrd 2732 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴(,]𝐵) ∪ {𝐵})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵})))
6029, 31, 10, 12, 32, 59limcres 23695 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
618, 60eleqtrrd 2733 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  intcnt 20869   Cn ccn 21076   CnP ccnp 21077  cnccncf 22726   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-cncf 22728  df-limc 23675
This theorem is referenced by:  fourierdlem46  40687
  Copyright terms: Public domain W3C validator