Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocinico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocinico 36599
Description: The intersection of two sets that meet at a point is that point. (Contributed by Jon Pennant, 12-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
iocinico (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝐵})

Proof of Theorem iocinico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-in 3546 . . . . . 6 ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))}
2 elioc1 12046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
323adant3 1073 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐵)))
4 3simpb 1051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 < 𝑥𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵))
53, 4syl6bi 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵)))
6 elico1 12047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
763adant1 1071 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
8 3simpa 1050 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥))
97, 8syl6bi 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)))
105, 9anim12d 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥))))
11 simpll 785 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12 simprr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → 𝐵𝑥)
13 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → 𝑥𝐵)
1411, 12, 133jca 1234 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵))
1510, 14syl6 34 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
16 elicc1 12048 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
1716anidms 674 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
18173ad2ant2 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥𝐵)))
1915, 18sylibrd 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)))
2019ss2abdv 3637 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))} ⊆ {𝑥𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)})
211, 20syl5eqss 3611 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ {𝑥𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)})
22 abid2 2731 . . . . 5 {𝑥𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐵)} = (𝐵[,]𝐵)
2321, 22syl6sseq 3613 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐵))
2423adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ (𝐵[,]𝐵))
25 iccid 12049 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
26253ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
2726adantr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
2824, 27sseqtrd 3603 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ {𝐵})
29 simpl2 1057 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30 simprl 789 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐵)
31 xrleid 11820 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
3229, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵𝐵)
33 elioc1 12046 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
34333adant3 1073 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
3534adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)))
3629, 30, 32, 35mpbir3and 1237 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴(,]𝐵))
37 simprr 791 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
38 elico1 12047 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵𝐵 < 𝐶)))
39383adant1 1071 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵𝐵 < 𝐶)))
4039adantr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵𝐵 < 𝐶)))
4129, 32, 37, 40mpbir3and 1237 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
4236, 41elind 3759 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)))
4342snssd 4280 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → {𝐵} ⊆ ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)))
4428, 43eqssd 3584 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = {𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  cin 3538  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  (,]cioc 12005  [,)cico 12006  [,]cicc 12007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator