Theorem iocinif 30503

Description: Relate intersection of two open-below, closed-above intervals with the same upper bound with a conditional construct. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
iocinif	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

Proof of Theorem iocinif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmid 891	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵)
2		xrltle 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
3	2	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	3	3adantl3 1164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		iocinioc2 30501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
6	4, 5	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))
7	6	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)))
8	7	ancld 553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶))))
9		simpl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10		simpl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
11		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
12		xrlenlt 10705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
13	12	biimpar 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
14	9, 10, 11, 13	syl21anc 835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
15		3ancoma 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*))
16		incom 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶))
17		iocinioc2 30501	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐵(,]𝐶) ∩ (𝐴(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
18	16, 17	syl5eqr 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
19	15, 18	sylanbr 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
20	14, 19	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))
21	20	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))
22	21	ancld 553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
23	8, 22	orim12d 961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶)))))
24	1, 23	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
25		eqif 4506	. 2 ⊢ (((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)) ↔ ((𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐵(,]𝐶)) ∨ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = (𝐴(,]𝐶))))
26	24, 25	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐶) ∩ (𝐵(,]𝐶)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵(,]𝐶), (𝐴(,]𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934  ifcif 4466   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  (,]cioc 12738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-ioc 12742

This theorem is referenced by:  pnfneige0  31194