Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooabslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooabslt 39129
 Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iooabslt.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iooabslt.3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
iooabslt (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) < 𝐵)

Proof of Theorem iooabslt
StepHypRef Expression
1 iooabslt.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10012 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 iooabslt.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
4 elioore 12147 . . . . 5 (𝐶 ∈ ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65recnd 10012 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7 eqid 2621 . . . 4 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
87cnmetdval 22484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴𝐶)))
92, 6, 8syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴𝐶)))
10 iooabslt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
11 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1211bl2ioo 22503 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
131, 10, 12syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
143, 13eleqtrrd 2701 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵))
15 cnxmet 22486 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
172, 1elind 3776 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ))
1810rexrd 10033 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
1911blres 22146 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
2016, 17, 18, 19syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
2114, 20eleqtrd 2700 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
22 elin 3774 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2321, 22sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2423simpld 475 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵))
25 elbl 22103 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
2616, 2, 18, 25syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
2724, 26mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵))
2827simprd 479 . 2 (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)
299, 28eqbrtrrd 4637 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) < 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∩ cin 3554   class class class wbr 4613   × cxp 5072   ↾ cres 5076   ∘ ccom 5078  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879   + caddc 9883  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   − cmin 10210  (,)cioo 12117  abscabs 13908  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ioo 12121  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660 This theorem is referenced by:  lptre2pt  39273
 Copyright terms: Public domain W3C validator