Theorem iooabslt 41767

Description: An upper bound for the distance from the center of an open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooabslt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
iooabslt.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
iooabslt.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
iooabslt	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Proof of Theorem iooabslt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooabslt.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		iooabslt.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
4		elioore 12762	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 10663	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8	7	cnmetdval 23373	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
9	2, 6, 8	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
10		iooabslt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
11		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
12	11	bl2ioo 23394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
13	1, 10, 12	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))
14	3, 13	eleqtrrd 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵))
15		cnxmet 23375	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
17	2, 1	elind 4170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ))
18	10	rexrd 10685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	11	blres 23035	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ (ℂ ∩ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝐵) = ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
21	14, 20	eleqtrd 2915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ))
22		elin 4168	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∩ ℝ) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
23	21, 22	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
24	23	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵))
25		elbl 22992	. . . . 5 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
26	16, 2, 18, 25	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)))
27	24, 26	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵))
28	27	simprd 498	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(abs ∘ − )𝐶) < 𝐵)
29	9, 28	eqbrtrrd 5082	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934   class class class wbr 5058   × cxp 5547   ↾ cres 5551   ∘ ccom 5553  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530   + caddc 10534  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   − cmin 10864  (,)cioo 12732  abscabs 14587  ∞Metcxmet 20524  ballcbl 20526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-ioo 12736  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534

This theorem is referenced by:  lptre2pt  41914