MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioof 12823
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 12750 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ioossre 12786 . . . . 5 (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3 ovex 7178 . . . . . 6 (𝑥(,)𝑦) ∈ V
43elpw 4542 . . . . 5 ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
52, 4mpbir 232 . . . 4 (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
61, 5syl6eqelr 2919 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
76rgen2 3200 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8 df-ioo 12730 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
98fmpo 7755 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
107, 9mpbi 231 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057   × cxp 5546  wf 6344  (class class class)co 7145  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  (,)cioo 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  unirnioo  12825  dfioo2  12826  ioorebas  12827  qtopbaslem  23294  retopbas  23296  qdensere  23305  blssioo  23330  tgioo  23331  tgqioo  23335  re2ndc  23336  xrtgioo  23341  xrge0tsms  23369  bndth  23489  ovolfioo  23995  ovollb  24007  ovolicc2  24050  ovolfs2  24099  ioorf  24101  ioorinv  24104  ioorcl  24105  uniiccdif  24106  uniioovol  24107  uniiccvol  24108  uniioombllem2  24111  uniioombllem3a  24112  uniioombllem3  24113  uniioombllem4  24114  uniioombllem5  24115  uniioombl  24117  opnmblALT  24131  mbfdm  24154  mbfima  24158  mbfid  24163  ismbfd  24167  mbfimaopnlem  24183  i1fd  24209  xrge0tsmsd  30619  iccllysconn  32394  rellysconn  32395  relowlssretop  34526  relowlpssretop  34527  ftc1anc  34856  ftc2nc  34857  ioofun  41703  islptre  41776  volioof  42149  fvvolioof  42151  ovolval3  42806  ovolval4lem1  42808  ovolval5lem2  42812  ovolval5lem3  42813
  Copyright terms: Public domain W3C validator