MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioof 12101
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 12029 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 ioossre 12065 . . . . 5 (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ
3 ovex 6555 . . . . . 6 (𝑥(,)𝑦) ∈ V
43elpw 4113 . . . . 5 ((𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝑥(,)𝑦) ⊆ ℝ)
52, 4mpbir 219 . . . 4 (𝑥(,)𝑦) ∈ 𝒫 ℝ
61, 5syl6eqelr 2696 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ)
76rgen2a 2959 . 2 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ
8 df-ioo 12009 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
98fmpt2 7104 . 2 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)} ∈ 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
107, 9mpbi 218 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  wss 3539  𝒫 cpw 4107   class class class wbr 4577   × cxp 5026  wf 5786  (class class class)co 6527  cr 9792  *cxr 9930   < clt 9931  (,)cioo 12005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-ioo 12009
This theorem is referenced by:  unirnioo  12103  dfioo2  12104  ioorebas  12105  qtopbaslem  22320  retopbas  22322  qdensere  22331  blssioo  22354  tgioo  22355  tgqioo  22359  re2ndc  22360  xrtgioo  22365  xrge0tsms  22393  bndth  22513  ovolfioo  22988  ovollb  22999  ovolicc2  23042  ovolfs2  23090  ioorf  23092  ioorinv  23095  ioorcl  23096  uniiccdif  23097  uniioovol  23098  uniiccvol  23099  uniioombllem2  23102  uniioombllem3a  23103  uniioombllem3  23104  uniioombllem4  23105  uniioombllem5  23106  uniioombl  23108  opnmblALT  23122  mbfdm  23146  mbfima  23150  mbfid  23154  ismbfd  23158  mbfimaopnlem  23173  i1fd  23199  xrge0tsmsd  28950  iccllyscon  30320  rellyscon  30321  relowlssretop  32211  relowlpssretop  32212  ftc1anc  32487  ftc2nc  32488  ioofun  38449  islptre  38510  volioof  38704  fvvolioof  38706  ovolval3  39361  ovolval4lem1  39363  ovolval5lem2  39367  ovolval5lem3  39368
  Copyright terms: Public domain W3C validator