Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioogtlb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioogtlb 39146
Description: An element of a closed interval is greater than its lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioogtlb ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ioogtlb
StepHypRef Expression
1 elioo2 12161 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
2 simp2 1060 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
31, 2syl6bi 243 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐶))
433impia 1258 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wcel 1987   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cr 9882  *cxr 10020   < clt 10021  (,)cioo 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-ioo 12124
This theorem is referenced by:  iocopn  39175  iooshift  39177  iooiinicc  39198  ioogtlbd  39206  iooiinioc  39212  lptre2pt  39294  limcresiooub  39296  limcresioolb  39297  sinaover2ne0  39400  dvbdfbdioolem1  39466  ioodvbdlimc1lem2  39470  fourierdlem27  39674  fourierdlem28  39675  fourierdlem31  39678  fourierdlem33  39680  fourierdlem40  39687  fourierdlem41  39688  fourierdlem46  39692  fourierdlem47  39693  fourierdlem48  39694  fourierdlem49  39695  fourierdlem57  39703  fourierdlem59  39705  fourierdlem60  39706  fourierdlem61  39707  fourierdlem62  39708  fourierdlem64  39710  fourierdlem65  39711  fourierdlem68  39714  fourierdlem73  39719  fourierdlem76  39722  fourierdlem78  39724  fourierdlem84  39730  fourierdlem90  39736  fourierdlem92  39738  fourierdlem97  39743  fourierdlem103  39749  fourierdlem104  39750  fourierdlem111  39757  sqwvfoura  39768  sqwvfourb  39769  fourierswlem  39770  fouriersw  39771  etransclem23  39797  qndenserrnbllem  39837  ioorrnopnlem  39847  ioorrnopnxrlem  39849  hoiqssbllem1  40159  hoiqssbllem2  40160  iunhoiioolem  40212  pimiooltgt  40244  smfaddlem1  40294  smfmullem1  40321  smfmullem2  40322
  Copyright terms: Public domain W3C validator