Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooinlbub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooinlbub 41652
Description: An open interval has empty intersection with its bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
iooinlbub ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅

Proof of Theorem iooinlbub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjr 4396 . 2 (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2 elpri 4579 . . 3 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
3 lbioo 12757 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
4 eleq1 2897 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
53, 4mtbiri 328 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6 ubioo 12758 . . . . 5 ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)
7 eleq1 2897 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
86, 7mtbiri 328 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
95, 8jaoi 851 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
111, 10mprgbir 3150 1 ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  c0 4288  {cpr 4559  (class class class)co 7145  (,)cioo 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  iccdifioo  41667  iccdifprioo  41668
  Copyright terms: Public domain W3C validator