MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioomax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioomax 12245
Description: The open interval from minus to plus infinity. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioomax (-∞(,)+∞) = ℝ

Proof of Theorem ioomax
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10093 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
2 pnfxr 10089 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 iooval2 12205 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)})
41, 2, 3mp2an 708 . 2 (-∞(,)+∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)}
5 rabid2 3116 . . 3 (ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)} ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞))
6 mnflt 11954 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
7 ltpnf 11951 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
86, 7jca 554 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞))
95, 8mprgbir 2926 . 2 ℝ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (-∞ < 𝑥𝑥 < +∞)}
104, 9eqtr4i 2646 1 (-∞(,)+∞) = ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  {crab 2915   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  cr 9932  +∞cpnf 10068  -∞cmnf 10069  *cxr 10070   < clt 10071  (,)cioo 12172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-ioo 12176
This theorem is referenced by:  unirnioo  12270  resup  12661  reordt  21016  icopnfcld  22565  iocmnfcld  22566  blssioo  22592  reconnlem1  22623  ioombl1  23324  ioombl  23327  mbfdm  23389  ismbf  23391  ismbf2d  23402  ismbf3d  23415  tpr2rico  29943  esumcvgsum  30135  itgexpif  30669  retopsconn  31216  asindmre  33475  itgsubsticclem  39960
  Copyright terms: Public domain W3C validator