Theorem ioondisj2 41765

Description: A condition for two open intervals not to be disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioondisj2	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Proof of Theorem ioondisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1208	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpll2 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simplr1 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
4		simplr2 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
5		iooin 12771	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 836	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)))
7		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐷 ≤ 𝐵)
8		xrmineq 12572	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≤ 𝐵) → if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷) = 𝐷)
10	9	oveq2d 7171	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)) = (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷))
11		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶)
12	11	iftrued 4474	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐶)
13		simplr3 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
14	13	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 < 𝐷)
15	12, 14	eqbrtrd 5087	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
16		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → ¬ 𝐴 ≤ 𝐶)
17	16	iffalsed 4477	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) = 𝐴)
18		simplrl 775	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐷)
19	17, 18	eqbrtrd 5087	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐶) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
20	15, 19	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷)
21	3, 1	ifcld 4511	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ*)
22		ioon0 12763	. . . . 5 ⊢ ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
23	21, 4, 22	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴) < 𝐷))
24	20, 23	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)𝐷) ≠ ∅)
25	10, 24	eqnetrd 3083	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → (if(𝐴 ≤ 𝐶, 𝐶, 𝐴)(,)if(𝐵 ≤ 𝐷, 𝐵, 𝐷)) ≠ ∅)
26	6, 25	eqnetrd 3083	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 < 𝐷)) ∧ (𝐴 < 𝐷 ∧ 𝐷 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐶(,)𝐷)) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∩ cin 3934  ∅c0 4290  ifcif 4466   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  (,)cioo 12737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-ioo 12741

This theorem is referenced by: (None)