MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorf 23387
Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorf 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorf.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2 ioof 12309 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6083 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4 ovelrn 6852 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
52, 3, 4mp2b 10 . . 3 (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6 0le0 11148 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
7 df-br 4686 . . . . . . . . 9 (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
86, 7mpbi 220 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
10 opelxpi 5182 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
119, 9, 10mp2an 708 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
12 elin 3829 . . . . . . . 8 (⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)) ↔ (⟨0, 0⟩ ∈ ≤ ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)))
138, 11, 12mpbir2an 975 . . . . . . 7 ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
1413a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
15 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
1615infeq1d 8424 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
17 simplll 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
18 simpllr 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
2019neqned 2830 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
2115, 20eqnetrrd 2891 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
22 df-ioo 12217 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
23 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤 < 𝑏))
24 xrltle 12020 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤𝑏))
25 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎 < 𝑤))
26 xrltle 12020 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎𝑤))
2722, 23, 24, 25, 26ixxlb 12235 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2817, 18, 21, 27syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2916, 28eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
3015supeq1d 8393 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
3122, 23, 24, 25, 26ixxub 12234 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3217, 18, 21, 31syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3330, 32eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
3429, 33opeq12d 4441 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
35 ioon0 12239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3635ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3721, 36mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
38 xrltle 12020 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
3938ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
4037, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎𝑏)
41 df-br 4686 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
4240, 41sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
43 opelxpi 5182 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4443ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4542, 44elind 3831 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4634, 45eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4714, 46ifclda 4153 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4847ex 449 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
4948rexlimivv 3065 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
505, 49sylbi 207 . 2 (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
511, 50fmpti 6423 1 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cin 3606  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  (class class class)co 6690  supcsup 8387  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-ioo 12217
This theorem is referenced by:  ioorcl  23391  uniioombllem2  23397
  Copyright terms: Public domain W3C validator