Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxr 39864
Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). Similar to ioorrnopn 39862 but here unbounded intervals are allowed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxr.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxr.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxr.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxr (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopnxr
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 4823 . . . . . 6 {∅} ∈ V
21prid2 4275 . . . . 5 {∅} ∈ {∅, {∅}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4 ixpeq1 7879 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
5 ixp0x 7896 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
74, 6eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
8 fveq2 6158 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘∅))
98fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
10 rrxtopn0b 39853 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
129, 11eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
137, 12eleq12d 2692 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
143, 13mpbird 247 . . 3 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
1514adantl 482 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
16 neqne 2798 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1716adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
18 fveq2 6158 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
19 fveq2 6158 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
2018, 19oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2120cbvixpv 7886 . . . . . . . . 9 X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))
2221eleq2i 2690 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2322biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2423adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
25 ioorrnopnxr.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2625ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
27 ioorrnopnxr.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2827ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
29 ioorrnopnxr.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
3029ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)
3122biimpri 218 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
3231adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
33 fveq2 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
3433eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴𝑗) = -∞ ↔ (𝐴𝑖) = -∞))
35 fveq2 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑖))
3635oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) − 1) = ((𝑓𝑖) − 1))
3734, 36, 33ifbieq12d 4091 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
3837cbvmptv 4720 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
39 fveq2 6158 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
4039eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) = +∞ ↔ (𝐵𝑖) = +∞))
4135oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) + 1) = ((𝑓𝑖) + 1))
4240, 41, 39ifbieq12d 4091 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
4342cbvmptv 4720 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
44 eqid 2621 . . . . . . 7 X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖)) = X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖))
4526, 28, 30, 32, 38, 43, 44ioorrnopnxrlem 39863 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4624, 45syldan 487 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4746ralrimiva 2962 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
48 eqid 2621 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
4948rrxtop 39846 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
5025, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
5150adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
52 eltop2 20719 . . . . 5 ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5351, 52syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5447, 53mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5517, 54syldan 487 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5615, 55pm2.61dan 831 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  wss 3560  c0 3897  ifcif 4064  {csn 4155  {cpr 4157  cmpt 4683  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  Xcixp 7868  Fincfn 7915  1c1 9897   + caddc 9899  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  *cxr 10033  cmin 10226  (,)cioo 12133  TopOpenctopn 16022  Topctop 20638  ℝ^crrx 23111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-field 18690  df-subrg 18718  df-abv 18757  df-staf 18785  df-srng 18786  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lmhm 18962  df-lvec 19043  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-cnfld 19687  df-refld 19891  df-phl 19911  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-xms 22065  df-ms 22066  df-nm 22327  df-ngp 22328  df-tng 22329  df-nrg 22330  df-nlm 22331  df-clm 22803  df-cph 22908  df-tch 22909  df-rrx 23113
This theorem is referenced by:  ioovonmbl  40228
  Copyright terms: Public domain W3C validator