Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioorrnopnxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorrnopnxr 42469
Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^‘𝑋). Similar to ioorrnopn 42467 but here unbounded intervals are allowed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ioorrnopnxr.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ioorrnopnxr.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
ioorrnopnxr.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
ioorrnopnxr (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝑋   𝜑,𝑖

Proof of Theorem ioorrnopnxr
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 p0ex 5275 . . . . . 6 {∅} ∈ V
21prid2 4691 . . . . 5 {∅} ∈ {∅, {∅}}
32a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → {∅} ∈ {∅, {∅}})
4 ixpeq1 8460 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
5 ixp0x 8478 . . . . . . 7 X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅}
65a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑖 ∈ ∅ ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
74, 6eqtrd 2853 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = {∅})
8 2fveq3 6668 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘∅)))
9 rrxtopn0b 42458 . . . . . . 7 (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}}
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘∅)) = {∅, {∅}})
118, 10eqtrd 2853 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = {∅, {∅}})
127, 11eleq12d 2904 . . . 4 (𝑋 = ∅ → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ {∅} ∈ {∅, {∅}}))
133, 12mpbird 258 . . 3 (𝑋 = ∅ → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
1413adantl 482 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
15 neqne 3021 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
1615adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
17 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐴𝑖) = (𝐴𝑗))
18 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
1917, 18oveq12d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2019cbvixpv 8467 . . . . . . . . 9 X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) = X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))
2120eleq2i 2901 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ↔ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2221biimpi 217 . . . . . . 7 (𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
2322adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)))
24 ioorrnopnxr.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2524ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑋 ∈ Fin)
26 ioorrnopnxr.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
2726ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐴:𝑋⟶ℝ*)
28 ioorrnopnxr.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
2928ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝐵:𝑋⟶ℝ*)
3021biimpri 229 . . . . . . . 8 (𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗)) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
3130adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))
32 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑖))
3332eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐴𝑗) = -∞ ↔ (𝐴𝑖) = -∞))
34 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑖))
3534oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) − 1) = ((𝑓𝑖) − 1))
3633, 35, 32ifbieq12d 4490 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)) = if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
3736cbvmptv 5160 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐴𝑖) = -∞, ((𝑓𝑖) − 1), (𝐴𝑖)))
38 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑖))
3938eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐵𝑗) = +∞ ↔ (𝐵𝑖) = +∞))
4034oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑓𝑗) + 1) = ((𝑓𝑖) + 1))
4139, 40, 38ifbieq12d 4490 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)) = if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
4241cbvmptv 5160 . . . . . . 7 (𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗))) = (𝑖𝑋 ↦ if((𝐵𝑖) = +∞, ((𝑓𝑖) + 1), (𝐵𝑖)))
43 eqid 2818 . . . . . . 7 X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖)) = X𝑖𝑋 (((𝑗𝑋 ↦ if((𝐴𝑗) = -∞, ((𝑓𝑗) − 1), (𝐴𝑗)))‘𝑖)(,)((𝑗𝑋 ↦ if((𝐵𝑗) = +∞, ((𝑓𝑗) + 1), (𝐵𝑗)))‘𝑖))
4425, 27, 29, 31, 37, 42, 43ioorrnopnxrlem 42468 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑗𝑋 ((𝐴𝑗)(,)(𝐵𝑗))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4523, 44syldan 591 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ≠ ∅) ∧ 𝑓X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))) → ∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
4645ralrimiva 3179 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))))
47 eqid 2818 . . . . . . . 8 (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) = (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))
4847rrxtop 42451 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
4924, 48syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
5049adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top)
51 eltop2 21511 . . . . 5 ((TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ Top → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → (X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)) ↔ ∀𝑓X 𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖))∃𝑣 ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋))(𝑓𝑣𝑣X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)))))
5346, 52mpbird 258 . . 3 ((𝜑𝑋 ≠ ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5416, 53syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
5514, 54pm2.61dan 809 1 (𝜑X𝑖𝑋 ((𝐴𝑖)(,)(𝐵𝑖)) ∈ (TopOpen‘(ℝ^‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  {csn 4557  {cpr 4559  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Xcixp 8449  Fincfn 8497  1c1 10526   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662  cmin 10858  (,)cioo 12726  TopOpenctopn 16683  Topctop 21429  ℝ^crrx 23913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lmhm 19723  df-lvec 19804  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-phl 20698  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-xms 22857  df-ms 22858  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-tng 23121  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-clm 23594  df-cph 23699  df-tcph 23700  df-rrx 23915
This theorem is referenced by:  ioovonmbl  42836
  Copyright terms: Public domain W3C validator