Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooshift 39177
Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
iooshift.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
iooshift.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
iooshift.3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooshift (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑧   𝑤,𝐵,𝑧   𝑤,𝑇,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑤)

Proof of Theorem iooshift
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
21rexbidv 3045 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
32elrab 3347 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4 simprr 795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
5 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑧𝜑
6 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑥 ∈ ℂ
7 nfre1 2999 . . . . . . . . 9 𝑧𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
86, 7nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
95, 8nfan 1825 . . . . . . 7 𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
10 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
11 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
12 iooshift.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 iooshift.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1412, 13readdcld 10016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1514rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
17 iooshift.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1817, 13readdcld 10016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
1918rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
21 ioossre 12180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
2322sselda 3584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
2413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
2523, 24readdcld 10016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
2612adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2726rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2928rexrd 10036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
30 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31 ioogtlb 39146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
3227, 29, 30, 31syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
3326, 23, 24, 32ltadd1dd 10585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) < (𝑧 + 𝑇))
34 iooltub 39164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
3527, 29, 30, 34syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
3623, 28, 24, 35ltadd1dd 10585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) < (𝐵 + 𝑇))
3716, 20, 25, 33, 36eliood 39149 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
38373adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
3911, 38eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
40393exp 1261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))))
429, 10, 41rexlimd 3019 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
434, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
443, 43sylan2b 492 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
45 elioore 12150 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4645adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746recnd 10015 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
4812rexrd 10036 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5017rexrd 10036 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5213adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
5346, 52resubcld 10405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
5412recnd 10015 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5513recnd 10015 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5654, 55pncand 10340 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
5756eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5857adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
5914adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
6015adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ*)
6119adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*)
62 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
63 ioogtlb 39146 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
6460, 61, 62, 63syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) < 𝑥)
6559, 46, 52, 64ltsub1dd 10586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) < (𝑥𝑇))
6658, 65eqbrtrd 4637 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 < (𝑥𝑇))
6718adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
68 iooltub 39164 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
6960, 61, 62, 68syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 < (𝐵 + 𝑇))
7046, 67, 52, 69ltsub1dd 10586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) < ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
7117recnd 10015 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7271, 55pncand 10340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7372adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
7470, 73breqtrd 4641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) < 𝐵)
7549, 51, 53, 66, 74eliood 39149 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵))
7655adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
7747, 76npcand 10343 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
7877eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
79 oveq1 6614 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
8079eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)))
8180rspcev 3295 . . . . . 6 (((𝑥𝑇) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
8275, 78, 81syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
8347, 82, 3sylanbrc 697 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
8444, 83impbida 876 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))))
8584eqrdv 2619 . 2 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)))
8685eqcomd 2627 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  wss 3556   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882   + caddc 9886  *cxr 10020   < clt 10021  cmin 10213  (,)cioo 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-ioo 12124
This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  39426  fourierdlem48  39694  fourierdlem49  39695  fourierdlem89  39735  fourierdlem91  39737  fourierdlem92  39738
  Copyright terms: Public domain W3C validator