MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooss2 12762
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooss2 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))

Proof of Theorem iooss2
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12730 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 xrltletr 12538 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝑤 < 𝐶))
31, 1, 2ixxss2 12745 1 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵𝐶) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  (,)cioo 12726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  tgqioo  23335  ioorcl2  24100  itgsplitioo  24365  ditgcl  24383  ditgswap  24384  ditgsplitlem  24385  dvferm2lem  24510  dvferm  24512  dvlip  24517  dvgt0lem1  24526  dvivthlem1  24532  lhop1lem  24537  lhop1  24538  dvcvx  24544  dvfsumle  24545  dvfsumge  24546  dvfsumabs  24547  ftc1lem1  24559  ftc1lem2  24560  ftc1a  24561  ftc1lem4  24563  ftc2  24568  ftc2ditglem  24569  itgsubstlem  24572  ftc1anc  34856  ftc2nc  34857  limcresioolb  41800  fourierdlem46  42314  fourierdlem48  42316  fourierdlem49  42317  fourierdlem75  42343  fourierdlem103  42371  fourierdlem113  42381  fouriersw  42393
  Copyright terms: Public domain W3C validator