Theorem ioossicc 12816

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 12736	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 12739	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 12536	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 12536	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12746	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3936  (class class class)co 7150   < clt 10669   ≤ cle 10670  (,)cioo 12732  [,]cicc 12735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ioo 12736  df-icc 12739

This theorem is referenced by:  ioodisj  12862  iccntr  23423  ivth2  24050  ivthle  24051  ivthle2  24052  ovolioo  24163  uniiccvol  24175  itgioo  24410  rollelem  24580  rolle  24581  cmvth  24582  dvlip  24584  dvlipcn  24585  dvlip2  24586  c1liplem1  24587  dvle  24598  dvivthlem1  24599  dvne0  24602  lhop1lem  24604  dvcnvrelem1  24608  dvfsumle  24612  dvfsumge  24613  dvfsumabs  24614  dvfsumlem2  24618  ftc1a  24628  ftc1lem4  24630  ftc1lem5  24631  ftc1lem6  24632  ftc1  24633  ftc2  24635  itgparts  24638  itgsubstlem  24639  itgsubst  24640  reeff1olem  25028  efcvx  25031  tanord1  25115  logccv  25240  loglesqrt  25333  chordthm  25409  amgmlem  25561  lgamgulmlem2  25601  eliccioo  30602  xrge0mulc1cn  31179  omssubadd  31553  ftc2re  31864  fdvposlt  31865  fdvneggt  31866  fdvposle  31867  fdvnegge  31868  circlemeth  31906  logdivsqrle  31916  ivthALT  33678  itg2gt0cn  34941  ftc1cnnclem  34959  ftc1cnnc  34960  ftc2nc  34970  areacirc  34981  itgpowd  39814  lhe4.4ex1a  40654  chordthmALT  41260  iccnct  41809  limciccioolb  41894  limcicciooub  41910  icccncfext  42162  cncfiooicclem1  42168  cncfioobdlem  42171  cncfioobd  42172  itgsin0pilem1  42227  iblioosinexp  42230  itgsinexplem1  42231  itgsinexp  42232  ditgeqiooicc  42237  itgcoscmulx  42246  ibliooicc  42248  itgsincmulx  42251  itgsubsticclem  42252  itgioocnicc  42254  iblcncfioo  42255  itgsbtaddcnst  42259  dirkeritg  42380  fourierdlem20  42405  fourierdlem38  42423  fourierdlem39  42424  fourierdlem46  42430  fourierdlem62  42446  fourierdlem68  42452  fourierdlem69  42453  fourierdlem70  42454  fourierdlem72  42456  fourierdlem73  42457  fourierdlem74  42458  fourierdlem75  42459  fourierdlem76  42460  fourierdlem80  42464  fourierdlem81  42465  fourierdlem82  42466  fourierdlem83  42467  fourierdlem84  42468  fourierdlem85  42469  fourierdlem88  42472  fourierdlem92  42476  fourierdlem93  42477  fourierdlem100  42484  fourierdlem101  42485  fourierdlem103  42487  fourierdlem104  42488  fourierdlem107  42491  fourierdlem111  42495  fourierdlem112  42496  sqwvfoura  42506  sqwvfourb  42507  etransclem18  42530  etransclem46  42558  hoicvrrex  42831