MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossicc 12201
Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossicc (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12121 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 df-icc 12124 . 2 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
3 xrltle 11926 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
4 xrltle 11926 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 12131 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3555  (class class class)co 6604   < clt 10018  cle 10019  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ioo 12121  df-icc 12124
This theorem is referenced by:  ioodisj  12244  iccntr  22532  ivth2  23131  ivthle  23132  ivthle2  23133  ovolioo  23243  uniiccvol  23254  itgioo  23488  rollelem  23656  rolle  23657  cmvth  23658  dvlip  23660  dvlipcn  23661  dvlip2  23662  c1liplem1  23663  dvle  23674  dvivthlem1  23675  dvne0  23678  lhop1lem  23680  dvcnvrelem1  23684  dvfsumle  23688  dvfsumge  23689  dvfsumabs  23690  dvfsumlem2  23694  ftc1a  23704  ftc1lem4  23706  ftc1lem5  23707  ftc1lem6  23708  ftc1  23709  ftc2  23711  itgparts  23714  itgsubstlem  23715  itgsubst  23716  reeff1olem  24104  efcvx  24107  tanord1  24187  logccv  24309  loglesqrt  24399  chordthm  24464  amgmlem  24616  lgamgulmlem2  24656  eliccioo  29421  xrge0mulc1cn  29766  omssubadd  30140  ivthALT  31969  itg2gt0cn  33094  ftc1cnnclem  33112  ftc1cnnc  33113  ftc2nc  33123  areacirc  33134  itgpowd  37278  lhe4.4ex1a  38007  chordthmALT  38649  iccnct  39176  limciccioolb  39254  limcicciooub  39270  icccncfext  39401  cncfiooicclem1  39407  cncfioobdlem  39410  cncfioobd  39411  itgsin0pilem1  39469  iblioosinexp  39472  itgsinexplem1  39473  itgsinexp  39474  ditgeqiooicc  39480  itgcoscmulx  39489  ibliooicc  39491  itgsincmulx  39494  itgsubsticclem  39495  itgioocnicc  39497  iblcncfioo  39498  itgsbtaddcnst  39502  dirkeritg  39623  fourierdlem20  39648  fourierdlem38  39666  fourierdlem39  39667  fourierdlem46  39673  fourierdlem62  39689  fourierdlem68  39695  fourierdlem69  39696  fourierdlem70  39697  fourierdlem72  39699  fourierdlem73  39700  fourierdlem74  39701  fourierdlem75  39702  fourierdlem76  39703  fourierdlem80  39707  fourierdlem81  39708  fourierdlem82  39709  fourierdlem83  39710  fourierdlem84  39711  fourierdlem85  39712  fourierdlem88  39715  fourierdlem92  39719  fourierdlem93  39720  fourierdlem100  39727  fourierdlem101  39728  fourierdlem103  39730  fourierdlem104  39731  fourierdlem107  39734  fourierdlem111  39738  fourierdlem112  39739  sqwvfoura  39749  sqwvfourb  39750  etransclem18  39773  etransclem46  39801  hoicvrrex  40074
  Copyright terms: Public domain W3C validator