MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossico 12201
Description: An open interval is a subset of its closure-below. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioossico (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)

Proof of Theorem ioossico
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12118 . 2 (,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎 < 𝑥𝑥 < 𝑏)})
2 df-ico 12120 . 2 [,) = (𝑎 ∈ ℝ*, 𝑏 ∈ ℝ* ↦ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝑎𝑥𝑥 < 𝑏)})
3 xrltle 11926 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴𝑤))
4 idd 24 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤 < 𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 12128 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  wcel 1992  wss 3560   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  (,)cioo 12114  [,)cico 12116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ioo 12118  df-ico 12120
This theorem is referenced by:  elicoelioo  29376  esumdivc  29918  omssubadd  30135  icomnfinre  39177  limcresioolb  39266  icocncflimc  39393  fourierdlem41  39659  fourierdlem46  39663  fouriersw  39742  ovolval5lem3  40162  ioosshoi  40177  vonioolem2  40189  amgmwlem  41825
  Copyright terms: Public domain W3C validator