Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioossioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioossioc 39516
Description: An open interval is a subset of its right closure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioossioc (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)

Proof of Theorem ioossioc
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 12164 . 2 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
2 df-ioc 12165 . 2 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
3 idd 24 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤𝐴 < 𝑤))
4 xrltle 11967 . 2 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
51, 2, 3, 4ixxssixx 12174 1 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,]𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  wcel 1988  wss 3567   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  (,)cioo 12160  (,]cioc 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-ioo 12164  df-ioc 12165
This theorem is referenced by:  iocnct  39570  limcresiooub  39674  ioccncflimc  39861  fourierdlem41  40128  fourierdlem46  40132  fourierdlem48  40134  fourierdlem49  40135  fouriersw  40211
  Copyright terms: Public domain W3C validator